1. PENGERTIAN TRIGONOMETRI

Trigonometri adalah cabang ilmu matematika yang berhubungan dengan sudut-sudut segitiga dan fungsi-fungsi seperti sinus, cosinus , dan tangen .

Trigonometri berasal dari kata trigonom yang artinya tiga sudut dan metro yang artinya mengukur .

Pada segitiga siku-siku berlaku perbandingan trigonometri :

Trigonometri

sin α = y r d e m i       csc α = r y m i d e         tan α = y x d e s a

cos α = x r s a m i       sec α = r x m i s a         cot α = x y s a d e

Ingat : nilai perbandingan trigonometri seperti ini hanya berlaku untuk segitiga siku-siku.

Hubungan radian dan derajat

π   r a d = 180 ° 1 ° = π 180 rad

Sudut lancip : adalah sudut yang besarnya kurang dari 90 ° , di mana semua nilai trigonometri bernilai positif.


Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Nyatakan sudut-sudut di bawah ini dalam derajat

    a. π 4

    b . 2 3 π c. 11 6 π d. 13 5 π

Jawab :

a . π 4 = 180 ° 4 = 45 °        

b . 2 3 π = 2 3 × 180 ° = 120 °  

c . 11 6 π = 11 6 × 180 ° = 330 °      

d . 13 5 π = 13 5 × 180 ° = 468 °


2. Nyatakan sudut-sudut di bawah ini dalam radian

a. 60 ° b . 240 ° c . 315 ° d. 150 °

Jawab :

a . 60 ° = 60 × π 180 = 1 3 π

b . 240 ° = 240 × π 180 = 4 3 π      

c . 315 ° = 315 × π 180 = 7 4 π

d . 150 ° = 150 × π 180 = 5 6 π


3 . Segitiga ABC siku-siku di B, jika panjang sisi AB = 4, dan BC = 3 tentukan semua nilai trigonometri untuk sudut A !

Jawab :

Trigonometri

sin A = d e p a n m i r i n g = 3 5

cos A = s a m p i n g m i r i n g = 4 5

tan A = d e p a n s a m p i n g = 3 4

csc A = m i r i n g d e p a n = 5 3

sec  A = m i r i n g s a m p i n g = 5 4

cot A = s a m p i n g d e p a n = 4 3

Sisi miring ( A C ) dicari terlebih dahulu dengan rumus pytagoras

A C = 3 2 + 4 2  

= 25

= 5


4. Diketahui sin θ = 0,6 dan θ sudut lancip, tentukan nilai dari cos θ + cot θ     !

Jawab :

sin θ = 0,6 sin θ = 3 5 = d e p a n m i r i n g

Untuk mencari nilai trigonometri yang lain kita gunakan segitiga siku-siku bantuan

Samping = 5 2 - 3 2 = 4

Trigonometri

cos θ = s a m p i n g m i r i n g cos θ = 4 5

cot θ = s a m p i n g d e p a n cot θ = 4 3

Jadi : cos θ + cot θ =   4 5 + 4 3    

= 32 15


5. Diketahui segitiga A B C dengan panjang sisi A B = 14 , A C = 13 , dan B C = 15 , maka tentukan nilai dari sin A - sin B !

Jawab :

Segitiga A B C dengan panjang sisi berturut-turut 15 , 14 , dan 13 bukan merupakan segitiga siku-siku, karena tidak berlaku triple Pythagoras :

15 2 14 2 + 13 2

Karena nilai trigonometri untuk sinus merupakan perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku , maka kita bagi segitiga A B C menjadi dua buah segitiga siku-siku :

Perhatikan gambar segitiga A B C dibawah ini :

A D C siku-siku di D dengan tinggi segitiga t , berlaku t 2 = 13 2 - x 2

B D C siku-siku di D dengan tinggi segitiga t , berlaku t 2 = 15 2 - 14 - x 2

t 2 = t 2

13 2 - x 2 = 15 2 - 14 - x 2

169 - x 2 = 225 - 196 - 28 x + x 2

169 = 225 - 196 + 28 x

140 = 28 x

x = 5

t = 13 2 - x 2  

= 169 - 25

= 12

Trigonometri

Nilai dari sin A - sin B = t 13 - t 15

= 12 13 - 12 15

= 24 195

= 8 65



Sebagai contoh :

1.
Trigonometri

Pada gambar di atas adalah tiga buah segitiga siku-siku, tentukan

a. sin α c. sec β e. cos γ
b. cot α d. tan β f. csc γ
Lihat Penyelesaian
2.

Pada gambar di bawah ini, tentukan

  1. sin 35 °

  2. sec 35 °

  3. tan 55 °

  4. cos 55 °

Trigonometri

Lihat Penyelesaian

3.

Pada gambar di bawah ini adalah segitiga sama kaki A B C , tentukan nilai dari

  1. sin A

  2. cos A

  3. tan A

  4. sec A

Trigonometri

Lihat Penyelesaian

4.

Diketahui cos θ = 24 25 dan θ merupakan sudut lancip, tentukan nilai dari cot θ + csc θ !

Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui sin A = 2 5 5   , A sudut lancip. Tentukan tan A + sec A !

Lihat Penyelesaian
6.

Diketahui sin α = 0,28 , dan tan β = 2,4 . Jika α dan β adalah sudut lancip , maka tentukan nilai dari cos α + cos β !

Lihat Penyelesaian
7.

Diketahui tan 12 ° = m , maka tentukan nilai dari

a. sin 12 ° cos 12 ° b. cos 2 78 ° - sin 2 78 °
Lihat Penyelesaian
8.

Diketahui cos 33 ° = 4 m m 2 + 4 , maka tentukan nilai dari

a. sin 33 ° b. tan 67 ° C. cot 33 ° + sec 67 °
Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui segitiga A B C dengan panjang rusuk A B = 21 , B C = 17 , dan A C = 10 , tentukan nilai dari sin A + sec B   !

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui kubus A B C D E F G H , tentukan nilai dari

  1. sin C A G

  2. cos A B H

  3. tan C A F

Trigonometri

Lihat Penyelesaian


  1. NILAI TRIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA

Tabel nilai trigonometri sudut istimewa :

Trigonometri

Perhatikan beberapa bukti di bawah ini :

1 . Tentukan semua nilai trigonometri untuk sudut 30 o dan 60 o !

Jawab :

Untuk membuktikan nilai trigonometri untuk sudut 30 o dan 60 o ikuti langkah-langkah ini

  • Buat segitiga sama sisi yang panjang sisinya 2 satuan

Trigonometri

Pada segitiga sama sisi besar ketiga sudutnya adalah 60 °

  • Buat garis tinggi dari salah satu titik sudutnya

Trigonometri

Pada segitiga sama sisi : garis tinggi, garis berat, dan garis bagi sudut adalah garis yang sama . Sehingga garis tingginya akan membagi sisi di depannya sama besar dan membagi sudut di titik sudutnya sama besar. Dengan rumus phytagoras didapat panjang garis tingginya adalah 3

  • Dengan melihat salah satu segitiga siku-siku didapat

Trigonometri

sin 30 ° = 1 2

cos 30 ° = 3 2

tan 30 ° = 1 3 = 1 3 3    

sin 60 ° = 3 2

cos 60 ° = 1 2

tan 60 ° = 3 1 = 3

2 . Tentukan hasil dari

a . sin 60 ° + cos 30 ° - tan 60 °          b. tan 30 ° sin 45 ° + cos 45 °  

Jawab :

a . sin 60 ° + cos 30 ° - tan 60 ° = 1 2 3 + 1 2 3 - 3

= 0

b . tan 30 ° sin 45 ° + cos 45 ° = 1 3 3 1 2 2 + 1 2 2

= 1 3 3 2

= 1 3 6  

3 . Sederhanakan dan rasionalkan bentuk-bentuk di bawah ini

a . sin 30 °   +   cos 30 ° sin 60   -   cos 60 °          b. tan 45 ° - tan 30 ° sin 90 ° + tan 30 °

Jawab :

a . sin 30 °   +   cos 30 ° sin 60   -   cos 60 ° = 1 2   +   1 2 3 1 2 3   -   1 2

= 1 2 + 1 2 3 1 2 3 - 1 2 × 2 2  

= 1 + 3 3 - 1 × 3 + 1 3 + 1

= 3 + 1 + 3 + 3 3 - 1

= 2 + 3

b . tan 45 °   -   tan 30 ° sin 90 °   +   tan 30 ° = 1   -   1 3 3 1   +   1 3 3

= 1   -   1 3 3 1   +   1 3 3 × 3 3

= 3   -   3 3   +   3 × 3 - 3 3 - 3

= 9 - 6 3 + 3 9 - 3

= 2 - 3



Sebagai contoh :

1.

Tunjukkan secara geometri bahwa sin 15 ° = 1 4 6 - 2 !

Lihat Penyelesaian

2.

Tunjukkan cos 72 ° = 5 - 1 4 secara geometri !

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan bentuk sederhana dari cos 60 ° cos 30 ° + sin 60 ° sin 30 ° sin 60 ° + cos 30 ° !

Lihat Penyelesaian

4.

Tunjukkan bahwa :

a. sin 2 30 ° + cos 2 30 ° = 1 c. 4 sin 75 ° cos 75 ° = 1
b . sin 2 15 ° + cos 2 15 ° = 1 d. cos 2 60 ° - sin 2 60 ° = - 1 2
Lihat Penyelesaian

5.

Tunjukkan bahwa

a. tan 45 ° + tan 30 ° tan 45 ° - tan 30 ° = 2 + 3 b. tan 60 ° - cos 0 ° sin 90 ° + tan 60 ° = 2 - 3
Lihat Penyelesaian

6.

Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini

a. sin π3    +   cos 0 cos π 3   -  cos π 6 b. sec π 3 + sec π 6 - sec 0
Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan hasil dari sin 1 3 π cos 1 6 π + cos 1 3 π sin 1 6 π   !

Lihat Penyelesaian

8.

Tunjukkan bahwa

a. cos 2 1 6 π - sin 2 1 6 π sin 1 6 π cos 1 6 π = 2 3 3 b. cos 2 1 4 π   +   sin 2 1 4 π sin 1 3 π cos 1 3 π = 4 3 3
Lihat Penyelesaian

9.

Tunjukkan bahwa

a. tan 1 4 π - tan 1 6 π tan 1 4 π + tan 1 6 π = 2 - 3 b. tan 5 12 π   -   tan 1 12 π tan 1 4 π   +   tan 5 12 π tan 1 12 π = 3
Lihat Penyelesaian

10.

Sederhanakan dan rasionalkan bentuk csc   π 2   +   csc   π 3   +   csc π 4 cot π 4   +  cot π 3   +   cot π 6 !

Lihat Penyelesaian


  1. NILAI TRIGONOMETRI DIBERBAGAI KUADRAN

Dalam perkembangannya fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus , dan tangen tidak hanya membahas sudut yang lancip saja , bahkan bukan hanya dalam satu putaran saja . Contoh penggunaannya di bidang fisika adalah yang berkaitan dengan gerak rotasi dan masalah gelombang .

Untuk satu putaran penuh ( sampai 360 ° ), dibagi menjadi 4 kuadran yaitu :

  • Kuadran pertama ( I ) : 0 ° < α < 90 °

  • Kuadran kedua ( I I ) : 90 ° < α < 180 °

  • Kuadran ketiga ( I I I ) : 180 ° < α < 270 °

  • Kuadran keempat ( I V ) : 270 ° < α < 360 °

Untuk   α > 360 ° maka penghitungan kuadrannya sama dengan

kuadran dari α - k × 360 ° , untuk sebuah bilangan asli k

contoh : 880 ° = 880 ° - 2 × 360 ° = 160 ° kuadran II

Untuk α < 0 ° maka penghitungan kuadrannya sama dengan

kuadran dari α + k × 360 ° , untuk sebuah bilangan asli k

contoh : - 150 ° = - 150 ° + 1 × 360 ° = 210 ° kuadran III

Untuk α tepat bernilai 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , atau 360 ° tidak terletak di kuadran manapun.

Kuadran pertama

sin α = y r > 0 p o s i t i f

cos α = x r > 0   p o s i t i f

tan α = y x > 0 p o s i t i f

Trigonometri

Kuadran kedua

sin α = y r > 0 p o s i t i f

cos α = - x r < 0   n e g a t i f

tan α = y - x < 0 n e g a t i f

Trigonometri

Kuadran ketiga

sin α = - y r > 0 n e g a t i f

cos α = - x r > 0   n e g a t i f

tan α = - y - x > 0 p o s i t i f

Trigonometri

Kuadran keempat

sin α = - y r < 0 n e g a t i f

cos α = x r > 0   p o s i t i f

tan α = - y x < 0 n e g a t i f

Trigonometri


Secara umum dapat disimpulkan bahwa :


Trigonometri

Sebagai contoh :

100 ° adalah sudut di kuadran II atau bisa kita sebut sudut tumpul, maka

sin 100 ° = + csc 100 ° = + cos 100 ° = - sec 100 ° = - tan 100 ° = - cot 100 ° = -


Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Diketahui sin A = 3 5 dan A sudut tumpul, maka tentukan nilai dari tan A + cos A !

    Jawab :

    Diketahui sin A = 3 5 dan A sudut tumpul, untuk mencari nilai trigonometri lain kita butuh segitiga siku-siku bantuan :

    Karena A sudut tumpul, maka nilai dari c o s i n u s dan t a n g e n adalah negative

    tan A + cos A = - 3 4 + - 4 5

    = - 3 4 - 4 5

    = - 15 - 16 20

    = - 31 20

    Trigonometri


  1. Diketahui tan θ = - 1,875 dan π < θ < 2 π , maka tentukan nilai dari sin θ + cos θ !

    Jawab :

    Diketahui tan θ = - 1,875 dan π < θ < 2 π

    Interval nilai θ berada di kuadran III dan IV, karena nilai tangen negatif , maka θ berada di kuadran IV

    tan θ = - 1,875 = - 15 8 pada segitiga siku-siku bantuan panjang sisinya semuanya dianggap positif.

    sin θ + cos θ = - 15 17 + 8 17

    = - 7 17

    Trigonometri

  1. Diketahui sin A = - 24 25 , cos B = 5 13 , dimana 90 ° < A < 270 ° dan 180 ° < B < 360 ° , maka tentukan nilai dari sin A   +   sin B cos A   +   cos B !

    Jawab :

    Karena ada dua sudut berbeda A , dan B , maka ada dua segitiga siku-siku bantuan.

    sin A = - 24 25 dan 90 ° < A < 270 ° A di kuadran II atau III

    Karena sinus bernilai negative, maka A di kuadran III

    cos B = 5 13 dan 180 ° < B < 360 ° B di kuadran III atau IV

    Karena cosinus bernilai positif , maka B berada di kuadran IV

    Trigonometri


    sin A   +   sin B cos A   +   cos B = - 24 25 + - 12 13 - 7 25 + 5 13 × 325 325

    = - 312 - 300 - 91 + 125

    = - 612 34

    = - 18



Sebagai contoh :

1.

Tentukan letak kuadran dari masing-masing sudut di bawah ini

a. 222 ° c. - 234 °
b. 2222 ° d. - 2345 °
Lihat Penyelesaian
2.

Buatlah table untuk menentukan bernilai positif atau negative dari semua nilai trigonometri untuk sudut 50 ° , 125 ° , 250 ° , 280 ° , 1000 ° , dan - 1000 ° !

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan bernilai negative atau positif , nilai dari fungsi s i n u s , c o s i n u s , dan t a n g e n untuk sudut-sudut yang digambarkan di bawah ini !

Trigonometri

Lihat Penyelesaian

4.

Diketahui sinA=817 dan A sudut tumpul, tentukan cosA   dan tanA !

Lihat Penyelesaian
5.

Jika sin A = 3 10 10 dan A sudut tumpul, maka tentukan nilai dari c o s 2 A - cot A   !

Lihat Penyelesaian
6.

Diketahui tan M = 2 , 180 ° < M < 270 ° . Tentukan nilai dari sin M + cos M !

Lihat Penyelesaian
7.

Diketahui cot β =   - 40 9 dan 180 ° < β < 360 ° . Tentukan cos β - sin β !

Lihat Penyelesaian
8.

Diketahui cos θ = 2 p 1 + p 2 , dengan 0 < p < 1 dan 180 ° < θ < 360 ° . Tentukan nilai dari

a. sin θ b. tan θ C. csc θ + cot θ
Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui sin α = 1 3 5 dan sin β = 1 4 7 dengan α sudut lancip dan β sudut tumpul, maka tentukan nilai dari cos α - cos β !

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui tan A = - 1 6 13 dan tan B = 2 5 6 , dengan 0 < A < π dan π < B < 2 π . Tentukan nilai dari sin 2 A   -     sin 2 B cos A   +   cos B !

Lihat Penyelesaian

  1. TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Ilustrasi pertama:

Perhatikan grafik fungsi sinus di bawah ini :

Trigonometri Sudut Berelasi

Perhatikan grafik fungsi sinus di atas :

sin α = m ,

sin 180 ° - α = m

sin 180 ° + α = - m

sin 360 ° - α = - m

Dapat disimpulkan bahwa :

sin 180 ° - α = sin α

sin 180 ° + α = - sin α

sin 360 ° - α = - sin α

Ilustrasi kedua :

Perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini :

Trigonometri Sudut Berelasi

cos θ = x r sin 90 ° - θ = x r jadi sin 90 ° - θ = cos θ

sin θ = y r cos 90 ° - θ = y r jadi cos 90 ° - θ = sin θ

cot θ = x y tan 90 ° - θ = x y jadi tan 90 ° - θ = cot θ

Secara umum table dari trigo nometri sudut berelasi adalah :

Tabel trigonometri sudut berelasi

KUADRAN II  

sin ( 90 ° + x ) = cos x  

cos ( 90 ° + x ) = - sin x  

tan ( 90 ° + x ) = - cot x  

sin ( 180 ° - x ) = sin x  

cos ( 180 ° - x ) = - cos x

tan ( 180 ° - x ) = - tan x

KUADRAN I

sin ( 360 ° + x ) = sin x

cos ( 360 ° + x ) = cos x

tan ( 360 ° + x ) = tan x

sin ( 90 ° - x ) = cos x

cos ( 90 ° - x ) = sin x

tan ( 90 ° - x ) = cot x

KUADRAN III  

sin ( 180 ° + x ) = - sin x

cos ( 180 ° + x ) = - cos x

tan ( 180 ° + x ) = tan x

sin ( 270 ° - x ) = - cos x  

cos ( 270 ° - x ) = - sin x  

tan ( 270 ° - x ) = cot x

KUADRAN IV

sin ( 270 ° + x ) = - cos x

cos ( 270 ° + x ) = sin x

tan ( 270 ° + x ) = - cot x

sin ( 360 ° - x ) = - sin x

cos ( 360 ° - x ) = cos x

tan ( 360 ° - x ) = - tan x



CARA MEMAHAMI TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Untuk sudut (90°±α) atau (270°±α) terjadi perubahan trigonometri :

  • Sinus berubah menjadi cosinus atau sebaliknya

  • Tangen berubah menjadi tangen atau sebaliknya

  • Secan berubah menjadi cosecant atau sebaliknya

Untuk sudut (180°±α) atau (360°±α) tidak terjadi perubahan trigonometri

Cara membaca letak sudut di berbagai kuadran untuk menentukan hasilnya bernilai positif atau negatif adalah sebagai berikut :

  • 90 ° - α terletak di kuadran I

  • 90 ° + α dan 180 ° - α terletak di kuadran II

  • 180 ° + α dan 270 ° - α terletak di kuadran III

  • 270 ° + α dan 360 ° - α terletak di kuadran IV


Contoh :

  1. Nyatakan bentuk trigonometri di bawah ini dalam sudut α !

a. sin 180 ° + α c. cos 270 ° + α
b. tan 90 ° + α d. sec 180 - α

Jawab :

  1. sin 180 ° + α

Karena sudutnya masuk kategori ( 180 ° ± α ) atau ( 360 ° ± α ) maka tidak terjadi perubahan trigonometri , sinus tetap sinus .

180 ° + α masuk dalam kuadran 3 jadi sinus bernilai negative

sin 180 ° + α = - sin α


  1. tan 90 ° + α  

Karena sudutnya masuk kategori ( 90 ° ± α ) atau ( 270 ° ± α ) maka terjadi perubahan trigonometri , dari tangen menjadi cotangen

90 ° + α masuk dalam kuadran 2 jadi tangen bernilai negative

tan 90 ° + α = - cot α


  1. cos 270 ° + α

Karena sudutnya masuk kategori ( 90 ° ± α ) atau ( 270 ° ± α ) maka terjadi perubahan trigonometri , dari cosinus menjadi sinus

270 ° + α masuk dalam kuadran 4 jadi cosinus bernilai positif

cos 270 ° + α = sin α


  1. sec 180 - α

Karena sudutnya masuk kategori ( 180 ° ± α ) atau ( 360 ° ± α ) maka tidak terjadi perubahan trigonometri , secan tetap secan.

180 ° - α masuk dalam kuadran 2 jadi secan bernilai negative

sec 180 ° - α = - sec α


  1. Nyatakan dalam trigonometri dengan sudut x,

a. sin ( 270 ° + x ) c. sec ( 90 ° - x ) e. csc ( 180 + x )
b. cos ( 90 ° + x ) d. tan ( 360 ° - x ) f. cot ( 270 ° - x )

Jawab :

Untuk sudut 90 ° ± x   270 ° ± x terjadi perubahan trigonometri

sin   c o s , tan   c o t , dan sec c s c

Untuk sudut 180 ° ± x   360 ° ± x tidak terjadi perubahan

a. sin(270°+x)=-cosx

( 270 ° + x ) di kuadran IV maka nilai s i n u s negatif

Terjadi perubahan dari sinus menjadi cosinus

b . cos(90°+x)=-sinx

( 90 ° + x ) di kuadran II maka nilai c o s i n u s negatif ,

Terjadi perubahan dari cosinus menjadi sinus

c . sec(90°-x)=cscx

( 90 ° - x ) di kuadran I maka nilai secan positif ,

terjadi perubahan secan menjadi cosecan

  1. tan ( 360 ° - x ) = - tan x

( 360 ° - x ) di kuadran I V maka nilai tangen positif

Tidak terjadi perubahan

  1. csc ( 180 ° + x ) = - csc x

( 180 ° + x ) di kuadran I II maka n ilai cosecan negatif

Tidak t erjadi perubahan

  1. cot ( 270 ° - x ) = tan x

( 90 ° - x ) di kuadran I maka nilai cotangen positif ,

terjadi perubahan cotangen menjadi tangen


  1. Nyatakan sudutnya dalam 25 ° untuk masing-masing trigonometri

a. sin 155 ° d. csc 335 °

b. cos 245 ° e. sec 65 °

c. tan 115 ° f . cot 205 °

Jawab :

  1. sin 155 ° = sin 180 ° - 25 °

    = sin 25 °

  1. cos 245 ° = cos 270 ° - 25 °

    = - sin 25 °

  1. tan 115 ° = tan 90 ° + 25 °

    = - cot 25 °  

  1. csc 335 ° = csc 360 ° - 25 °

    = - csc 25 °

  1. sec 65 ° = sec 90 ° - 25 °

    = csc 25 °

  1. cot 205 ° = cot 180 ° + 25 °

    = cot 25 °


  1. Nyatakan sudutnya dalam x + 10 ° untuk masing-masing trigonometri

a. sin 80 ° - x c. tan 100 ° + x
b. cos 190 ° + x d. sec 350 ° - x

Jawab :

  1. sin 80 ° - x = sin 90 ° - x + 10 °

    = cos x + 10 °  

  1. cos 190 ° + x = cos 180 ° + x + 10 °  

    = - cos x + 10 °

  1. tan 100 ° + x = tan 90 ° + x + 10 °

    = - cot x + 10 °

  1. sec 350 ° - x = sec 360 ° - x + 10 °

    = sec x + 10 °


  1. Nyatakan trigonometri di bawah ini, sudutnya dalam x - 12 °

a. sin 798 ° + x c. cos x - 282 °

b. tan 1722 ° - x d. cot x - 3882 °

Jawab :

  1. sin 798 ° + x = sin 798 ° + x - 2 × 360 °

    = sin 78 ° + x

    = sin 90 ° + x - 12 °

    = cos x - 12 °  


  1. tan 1722 ° - x = tan 1722 ° - x - 4 × 360 °  

    = tan 282 ° - x

    = tan 270 ° - x - 12 °

    = cot x - 12 °


  1. cos x - 282 ° = cos x - 282 ° + 360 °

    = cos x + 78 °

    = cos 90 ° + x - 12 °

    = - sin x - 12 °


  1. cot x - 3882 ° = cot x - 3882 ° + 11 × 360 °

    = cot x + 78 °

    = cot 90 ° + x - 12 °

    = - tan x - 12 °



Sebagai contoh :

1.

Tunjukkan bahwa

a. sin - x = - sin x b. cos - x = cos x c. tan - x = - tan x
Lihat Penyelesaian

2.

Buatlah table trigonometri sudut berelasi untuk c o s e c a n , s e c a n , dan c o t a n g e n !

Lihat Penyelesaian

3.

Nyatakan trigonometri-trigonometri di bawah ini sudutnya dalam α

a. sin ( 90 ° + α ) b. csc ( 270 ° - α ) c. tan ( 180 ° - α )
Lihat Penyelesaian

4.

Nyatakan sudutnya dalam x untuk setiap trigonometri di bawah ini

a. sin x - 180 ° c. tan x - 90 °
b. cos x - 270 ° d. cot - x - 270 °
Lihat Penyelesaian

5.

Nyatakan sudutnya dalam 10 ° - θ untuk trigonometri di bawah ini

a. cos 170 ° + θ c. cos 1360 ° - θ
b. sin θ - 100 ° d. sin - θ - 1340 °
Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan bentuk sederhana dari

a. M = sin 90 ° + x + 2 cos 180 ° + x - sin ( 270 ° - x )
b. N = cos x - 90 ° + 3 sin x - 180 ° + 5 cos x - 270 °
Lihat Penyelesaian

7.

Jika 4 sin 88 ° - x - 3 cos 182 ° + x + 2 sin 358 ° - x - cos ( 272 ° + x ) = a cos x + 2 ° + b sin ( x + 2 ° ) , maka nilai dari 3a + b = ...

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui sin 24 ° = m 2 - 4 m 2 + 4 maka tentukan tan 246 ° + sec 114 °     !

Lihat Penyelesaian

9.

Jika diketahui sin 37 ° = 0,6 (bukan nilai eksak, melainkan pembulatan) , tentukan

a. sin 53 ° + cos 53 ° c. tan 323 ° - sin 217 ° + cos 307 °
b. tan 37 ° + tan 53 ° b. sin 143 ° - cos 233 ° - tan 127 °
Lihat Penyelesaian

10.

Tunjukkan bahwa

a. cos 93 ° + x - sin 87 ° - x cos 267 ° - x + sin 273 ° + x = 1 b. 5 sin 95 ° + x     +   6 cos 175 ° - x 7 sin 275 ° + x   +   8 cos 185 ° + x = 1 15
Lihat Penyelesaian


  1. TEKNIK MENCARI NILAI TIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA DI LUAR SUDUT LANCIP

Jika diketahui nilai trigonometri untuk sudut lancip , maka untuk mencari nilai trigonometri di luar sudut lancip kita gunakan cara-cara sebagai berikut :

1. Untuk sudut di luar interval 0 ° < α < 360 ° boleh di tambah atau dikurangi 360 ° atau kelipatannya.

Contoh : sin 900 ° = sin 900 ° - 2 × 360 ° = sin 180 °

sin ( - 330 ) ° = sin - 330 ° + 360 ° = sin 30 °

2. Gunakan sudut berelasi ( 180 ° ± α ) dan ( 360 ° - α ) sebab tidak akan mengubah nama trigonometrinya

  • Untuk sudut di kuadran II gunakan 180 ° - α

  • Untuk sudut di kuadran III gunakan 180 ° + α

  • Untuk sudut di kuadran IV gunakan 360 ° - α

Contoh : sin 135 ° = sin 180 ° - 45 ° = sin 45 °

Jadi s i n u s akan tetap menjadi s i n u s

3. Untuk menentukan hasilnya positif atau negatif , gunakan nilai trigonometri di berbagai kuadran.

Contoh : sin 240 ° = - sin 60 ° ( 240 = 180 + 60 dan 240 di kuadran III, nilai sin negatif)

= - 1 2 3

Contoh : tan 1290 ° = tan 210 ° 210 = 1290 – 3(360)

= tan 30 ( 210 = 180 + 30 dan 210 di kuadran III, nilai tan positif)

= 1 3 3

Dalam hal ini pembaca diharapkan memahami ( hafal ) nilai trigonometri untuk sudut lancip


Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Tentukan nilai eksak dari

a. tan 150 ° b. cos 240 °

Jawab :

  1. tan 150 °

sudut 150 ° terletak di kuadran II , maka tan 150 ° bernilai negative

sudut 150 ° = 180 ° - 30 °

Jadi tan 150 ° = - tan 30 °

= - 1 3 3

  1. cos 240 °

sudut 240 ° terletak di kuadran III , maka cos 240 °   bernilai negative

sudut 240 ° = 180 ° + 60 °

Jadi cos 240 ° = - cos 60 °

= - 1 2


  1. Tentukan nilai eksak dari

a. sin 7 6 π b. tan 11 6 π

Jawab :

  1. sin 7 6 π = sin 7 6 × 180 °  

    = sin 210 °       210 ° = 180 ° + 30 °

    = - sin 30 °   bernilai negative sebab 210 ° di kuadran 3

    = - 1 2


  1. tan 11 6 π = tan 11 6 × 180 °

    = tan 330 °     330 ° = 360 ° - 30 °

    = - sin 30 °   bernilai negative sebab 330 ° di kuadran 4

    = - 1 3 3


  1. Tentukan nilai eksak dari

a. sin - 420 ° b. cos 2100 °

Jawab :

  1. sin - 420 °

      sin - 420 ° = sin - 420 ° + 2 × 360 °

    = sin 300 °   kuadran IV , nilai sinus negative

    = - sin 60 °      300 ° = 360 ° - 60 °

    = - 1 2 3


  1. cos 2100 °

    cos 2100 ° = cos 2100 ° - 5 × 360 °

    = cos 300 °   kuadran IV , nilai cosinus positif

    = cos 60 °     300 ° = 360 ° - 60 °

    = 1 2


  1. Tentukan nilai eksak dari

a. sin 270 ° b. cos 180 °

Jawab :

  1. sin 270 °

    Untuk sudut 270 °

    Jika menggunakan 180 ° + 90 ° dianggap di kuadran 3

    Jika menggunakan 360 ° - 90 ° dianggap di kuadran 4

    sin 270 ° = sin 180 ° + 90 °

    = - sin 90 °   tanda minus karena di kuadran 3 sinus negative

    = - 1

    sin 270 ° = sin 360 ° + 90 °

    = - sin 90 °   tanda minus karena di kuadran 4 sinus negative

    = - 1


  1. cos 180 °

    Untuk sudut 180 °

    Jika menggunakan 180 ° - 0 ° dianggap di kuadran 2

    Jika menggunakan 180 ° + 0 ° dianggap di kuadran 3

    cos 180 ° = cos 180 ° - 0 °

    = - cos 0 °   tanda minus karena di kuadran 2 cosinus negative

    = - 1


    cos 180 ° = cos 180 ° + 0 °

    = - cos 0 °   tanda minus karena di kuadran 3 cosinus negative

    = - 1



Sebagai contoh :

1.

Diketahui sin 12 ° = a , cos 12 ° = b maka tentukan nilai dari

a. sin 168 ° c. sin 192 ° e. sin 348 °
b. cos 168 ° d. cos 192 ° f. cos 348 °
Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan nilai eksak dari

a. sin 240 ° c. tan 2 π 3 e. csc 270 °
b. cos 300 ° d. cot 225 ° f. sec 7 6 π
Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai eksak dari

a. sin 480 ° c. tan 16 π 3 e. csc 510 °
b. cos 3930 ° d. cot 1200 ° f. sec 41 6 π
Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan nilai eksak dari :

a. sin ( - 120 ° ) c. tan ( - 14 π 3 ) e. csc ( - 36510 ° )
b. cos ( - 1230 ° ) d. cot ( - 900 ° ) f. sec ( - 38 6 π )
Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari :

  1. 3 sin 120 ° + 4 sin 240 ° + 5 sin 300 °

  2. 2 cos 150 ° + 4 cos 210 ° + 6 cos 330 °

  3. 3 tan 120 ° + 6 tan 150 ° + 9 tan 210 ° + 12 tan 240 ° + 15 tan 300 °

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan hasil dari 2 sin 240 °   -   tan 300 °   + 2 cos 120 ° 2 sin 180 ° + cos 0 ° - sin 300 ° !

Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui sin 37 ° = 0,6 (hasil pembulatan), tentukan nilai dari

a. sin 233 ° b. cos 143 ° c. tan 323 °
Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui cos 72 ° = 1 4 ( 5 - 1 ) , tentukan nilai dari

a. sin 18 ° dan tan 18 ° c. cos 288 °
b. sin 162 ° d. tan 198 °
Lihat Penyelesaian

9.

Diketahui sin 15 ° = 6 - 2 4 , maka

a. dengan bantuan segitiga siku-siku tentukan nilai dari cos   15 °
b. Tentukan nilai dari sin 345 ° + cos 165 ° sin 195 ° + cos 345 °
Lihat Penyelesaian

10.

Diketahui cos 35 ° = m 2 - 9 m 2 + 9 dengan m 2 > 9 , maka

a. Denganbantuan segitiga siku-siku tentukan tan 35 ° dan sin 35 °
b. Tentukan nilai dari tan 215 ° sin 145 ° + tan 325 ° sin 215 °
Lihat Penyelesaian


  1. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Rumus-rumus identitas trigonometri :

  1. Rumus dasar identitas trigonometri

    si n 2 x + co s 2 x = 1

  1. Hubungan antar fungsi trigonometri

    a. tan x = sin x cos x c. cot x = 1 tan x e. csc x = 1 sin x
    b. cot x = cos x sin x d. sec x = 1 cos x
  1. Penulisan lain identitas trigonometri

    1. tan 2 x + 1 = sec 2 x

      si n 2 x + co s 2 x = 1 kedua ruas dibagi cos 2 x

      sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x diperoleh tan 2 x + 1 = sec 2 x

    1. 1 + cot 2 x = csc 2 x

      si n 2 x + co s 2 x = 1 kedua ruas dibagi sin 2 x

      sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = 1 sin 2 x diperoleh 1 + cot 2 x = csc 2 x

  1. Trigonometri sudut negative

    1. sin - x = - sin x     csc - x = - csc x

    2. cos - x = cos x     sec - x = sec x  

    3. tan - x = - tan x   cot - x = - cot x


Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Bukti bahwa cos 2 x + sin 2 x = 1 !

    Trigonometri

    Pada segitiga siku-siku berlaku perbandingan trigonometri

    Pada gambar di samping berlaku rumus pitagoras

    x 2 + y 2 = r 2

    Kemudian kita bagi masing-masing ruas dengan r2

    x 2 + y 2 r 2 = r 2 r 2 xr2+yr2=1

    Dengan mengganti sinα=yr cosα=xr didapat

    cos 2 x + sin 2 x = 1 (terbukti)


  1. Buktikan bahwa cos 2 x 1 - sin x - tan x cos x = 1

    Bukti :

    cos 2 x 1 - sin x - tan x cos x = 1 - sin 2 x 1 - sin x - sin x cos x cos x   cos 2 x = 1 - sin 2 x

    = 1 - sin x 1 + sin x 1 - sin x - sin x

    = 1 + sin x - sin x

    = 1    

    terbukti


  1. Buktikan bahwa 1 + cos x sin x = sin x 1 - cos x !

    Bukti :

    1 + cos x sin x = 1 + cos x sin x × 1 - cos x 1 - cos x

    = 1 - cos 2 x sin x 1 - cos x     sin 2 x = 1 - cos 2 x

    = sin 2 x sin x 1 - cos x

    = sin x 1 - cos x

    Terbukti


  1. Jika sin x + cos x = 1,2 maka tentukan

    a. sin x cos x b. sin 3 x + cos 3 x

    Jawab :

    1. sin x cos x

    sin x + cos x = 1,2

    sin x + cos x 2 = 1,2 2       kuadratkan kedua ruas

    sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x = 1,44   sin 2 x + cos 2 x = 1

    1 + 2 sin x cos x = 1,44

    2 sin x cos x = 0,44

    sin x cos x = 0,22


    1. sin 3 x + cos 3 x

    a 3 + b 3 = a + b 3 - 3 a b a + b

    Substitusikan a = sin x dan b = cos x

    sin 3 x + cos 3 x = sin x + cos x 3 - 3 sin x cos x sin x + cos x

    = 1,2 3 - 3 0,22 1,2

    = 1,728 - 0,792

    = 0,936


  1. Jika sec x + tan x = 11 maka tentukan nilai dari

    a. sec x b. tan x

    Jawab :

    1. sec x

      sec x + tan x = 11

      sec x + tan x 2 = 11 2

      sec 2 x + 2 sec x tan x + tan 2 x = 121

      sec 2 x + 2 sec x tan x + sec 2 x - 1 = 121     tan 2 x = sec 2 x - 1

      2 sec 2 x + 2 sec x tan x = 122

      2 sec x sec x + tan x = 122

      2 sec x 11 = 122

      sec x = 122 22

      = 61 11


    1. tan x

      Dari sec x + tan x = 11 Kita substitusikan sec x = 61 11

      61 11 + tan x = 11

      tan x = 11 - 61 11

      = 60 11



Sebagai contoh :

1.

Buktikan bahwa

a. 1 - sin β 1 + sin β = cos 2 β b. 1 - 2 cos 2 β = 2 sin 2 β - 1
Lihat Penyelesaian

2.

Buktikan bahwa

a. 1 - csc 2 y 1 - sin y 1 + sin y = - csc 2 y b. 1 - sec 2 y 1 - cos y 1 + cos y = - sec 2 y
Lihat Penyelesaian

3.

Buktikan bahwa

a. si n 2 x 1 + cos x = 1 - cos x c. sin x + cos x 2 - 1 sin x = 2 cos x
b. 1 - sin 4 x cos 2 x = 1 + sin 2 x d. 1 - sin x cos x = cos x 1 + sin x
Lihat Penyelesaian

4.

Buktikan bahwa

a. 1 - 2 sin 2 α sin α + cos α + 1 - cos 2 α sin α = cos α b. 1 - 2 cos 2 α sin α + cos α + 1 - sin 2 α cos α = sin α
Lihat Penyelesaian

5.

Buktikan bahwa

a. sec x + csc x sin x + cos x = sec x csc x b. tan x + cot x sec x csc x = 1
Lihat Penyelesaian

6.

Buktikan bahwa

a. 1 - cos x 1 + cos x = csc x - cot x b. 1 + sin x 1 - sin x = sec x + tan x
Lihat Penyelesaian

7.
a. Jika sin x + cos x = 1,3   maka tentukan nilai dari sin x cos x !
b. Jika sin x cos x = 0,105 maka tentukan nilai sin x + cos x !
Lihat Penyelesaian

8.
a. Jika sin x + cos x = 1,2     0 < x < 45 °   maka tentukan nilai dari sin x - cos x !
b. Jika sin x + cos x = 1,2     45 ° < x < 90 °   maka tentukan nilai dari sin x - cos x !
Lihat Penyelesaian

9.

Jika sin A - cos A = 1 3 maka tentukan

a. sin A cos A b. sec A - csc A
Lihat Penyelesaian

10.

Diketahui sec x + tan x = 10 maka tentukan nilai dari

a. sec x b. sec x - tan x
Lihat Penyelesaian

11.

Diketahui csc x + cot x = 9 maka tentukan nilai dari

a. csc x b. csc x - cot x
Lihat Penyelesaian

12.

Buktikan bahwa

a. 1 + cos   x 1 + sec x = cos x c. 1 + cos x 1 - cos x - 1 - cos x 1 + cos x = 4 cot x csc x
b. 1 - tan x 1 + tan 2 x = cos 2 x - sin 2 x d. 1 - sin x cos x + cos x 1 - sin x = 2 sec x
Lihat Penyelesaian

13.

Buktikan bahwa

a. sin A csc A - cot A - sin A tan A = 1
b. 1 sin A + 1 - 1 sin A - 1 = 2 sec 2 A
c. sec A sec A + tan A + tan A sec A - tan A = 1 + 2 tan 2 A
d. 2 - csc 2 A csc 2 A + 2 cot A = sin A - cos A sin A + cos A
Lihat Penyelesaian

14.

Buktikan bahwa

a. sin 2 α + sin 2 α tan 2 α = tan 2 α
b. tan 2 α - cot 2 α = sec 2 α - cot 2 α
c. cos 4 α - sin 4 α = cos 2 α - sin 2 α
d. tan 4 α + tan 2 α = sec 4 α - sec 2 α
Lihat Penyelesaian

15.

Buktikan bahwa :

a. sec θ csc θ = tan θ + cot θ
b. 1 - cos θ 1 + sec θ = sin θ tan θ
c. 1 + tan θ - sec θ 1 + cot θ + csc θ = 2
d. 1 + sec θ 2 + 1 - sec θ 2 = 4 + 2 tan 2 θ
Lihat Penyelesaian

16.

Buktikan bahwa

a. 2 - cos 2 x - 3 sin x cos x 2 sin x - cos x = sin x - cos x
b. sin x 1 + sec x - sin x 1 - sec x = 2 cot x
c. cos x   + sec y cos y + sec x = cos x cos y
d. 1 - 2 cos 2 x 1 + 2 sin x cos x = sin x - cos x sin x + cos x
Lihat Penyelesaian

17.

Buktikan bahwa

a. cos   90 °   + cos ( 270 °   +   x ) sin   90 ° cos ( 180 ° - x ) = 1 - cos x sin x
b. csc 90 ° + x -   cot  270 °   -   x sec 360 ° - x + tan 180 °   +   x = sec x - tan x
Lihat Penyelesaian

18.

Buktikan sin 100 ° + x cos 350 ° - x   cos 100 ° + x sin ( 170 ° - x ) csc ( 260 ° - x ) = - cos 10 ° + x

Lihat Penyelesaian

19.

Buktikan bahwa

a. cos 0   + sin 90 ° - x sin 90 ° + csc 90 ° + x = cos x b. cos 270 ° + x csc 180 ° - x + cot 180 ° - x = 1 + cos x
Lihat Penyelesaian

20.

Buktikan bahwa sin 2 100 ° - A sin 190 ° - A + 1 - sin 2 260 ° + A sin 190 ° - A - 1 = 2 !

Lihat Penyelesaian


  1. KOORDINAT POLAR ATAU KOORDINAT KUTUB

Koordinat polar adalah koordinat yang letaknya ditentukan oleh sudut ( α ) yang dibentuk oleh sumbu X positif dan arahnya berlawanan dengan jarum jam dan jaraknya ( r ) dihitung dari titik asal koordinat


Trigonometri

Hubungan koordinat polar dengan koordinat kartesius

r ,   α     x ,   y   : x = r cos α y = r   s i n   α

x ,   y r ,   α     :   r = x 2 + y 2 tan α = y x              


Jarak antara dua titik dalam koordinat polar atau kutub A r 1 , α 1 dan B r 2 , α 2 adalah

A B = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1


Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Nyatakan titik A dan B di bawah ini dalam koordinat kartesius !

    1. Trigonometri

    1. Trigonometri

    Jawab :

  1. Diketahui koordinat polar A 6 ,   30 °

    A 6 ,   30 ° = A r , α

    r = 6 dan α = 30 °

    x = r cos α y = r sin α

    x = 6 cos 30 ° = 6 1 2 3 = 3 3 y = 6 sin 30 ° = 6 1 2 = 3  

    Jadi koordinat kartesiusnya adalah A 3 3 ,   3

    Trigonometri


  1. Diketahui koordinat polar A 8 ,   225 °

    A 8 ,   225 ° = A r , α

    r = 8 dan α = 225 °

    x = r cos α y = r sin α

    x = 8 cos 225 ° = 8 - 1 2 2 = - 4 2 y = 8 sin 225 ° = 8 - 1 2 2 = - 4 2  

    Jadi koordinat kartesiusnya adalah A - 4 2 ,   - 4 2

    Trigonometri


  1. Nyatakan titik P dan Q di bawah ini dalam koordinat kutub

    a. P 6 ,   - 2 3 b. Q - 5 ,   5

    Jawab :

  1. Diketahui koordinat kartesius P 6 ,   - 2 3

    P 6 ,   - 2 3 = P x ,   y x = 6 dan y = - 2 3

    r = x 2 + y 2

    = 6 2 + - 2 3 2

    = 36 + 12

    = 48

    = 4 3

    tan α = y x

    = - 2 3 6   x positif dan y negatif maka α dikuadran I V

    = - 1 3 3

    α = 300 °

    Jadi koordinat polar/ kutubnya adalah 4 3 ,   300 °


  2. Diketahui koordinat kartesius Q - 5 ,   5

    P - 5 ,   5 = P x ,   y x = - 5 dan y = 5

    r = x 2 + y 2

    = - 5 2 + 5 2

    = 25 + 25

    = 50

    = 5 2

    tan α = y x

    = 5 - 5     x negatif dan y positif maka α dikuadran I I

    = - 1

    α = 135 °

    Jadi koordinat polar/ kutubnya adalah 5 2 ,   135 °


  1. Buktikan bahwa jarak antara dua titik dalam koordinat kutub A r 1 , α 1 dan B r 2 , α 2 adalah = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1 , dan kemudian tentukan jarak antara titik A 3 ,   20 ° dan B 6 ,   140 ° !

    Bukti :

    Jika A r 1 , α 1 = A x A , y A dan B r 2 , α 2 = B x B , y B

    maka akan dibuktikan bahwa A B = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1

    A r 1 , α 1 x A = r 1 cos α 1 y A = r 1 sin α 1 dan B r 2 , α 2 x B = r 2 cos α 2 y B = r 2 sin α 2

    x A 2 + y A 2 = r 1 cos α 1 2 + r 1 sin α 1 2

    = r 1 2 cos 2 α 1 + sin 2 α 1      cos 2 α 1 + sin 2 α 1 = 1

    = r 1 2

    Dengan cara yang sama : x B 2 + y B 2 = r 2 2

    Gunakan : cos α 2 - α 1 = cos α 2 cos α 1 + sin α 2 sin α 1

    A B = x 2 + y 2

    = x B - x A 2 + y B - y A 2

    = x B 2 - 2 x B x A + x A 2 + y B 2 - 2 y B y A + y A 2

    = x A 2 + y A 2 + x B 2 + y B 2 - 2 x B x A + y B y A

    = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 2 r 1 cos α 2 cos α 1 + r 2 r 1 sin α 2 sin α 1

    = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 2 r 1 cos α 2 cos α 1 + sin α 2 sin α 1

    = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1

    Terbukti

    Jarak antara titik A 3 ,   20 ° dan B 6 ,   140 ° adalah :

    A B = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1

    = 3 2 + 6 2 - 2 3 6 cos 140 ° - 20 °

    = 9 + 36 - 36 cos 120 °

    = 45 - 36 - 1 2

    = 45 + 18

    = 63

    = 3 7



Sebagai contoh :

1.

Diketahui koordinat kutub A 6 ,   225 ° , gambar dan nyatakan dalam koordinat kartesius !

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui koordinat kartesius B 4 ,   - 4 3 , gambar dan nyatakan dalam koordinat kutub !

Lihat Penyelesaian

3.

Nyatakan titik A - 4 ,   4 3 dalam koordinat kutub !

Lihat Penyelesaian

4.

Nyatakan koordinat polar A ( 20 ,     5 4 π ) dalam koordinat kartesius !

Lihat Penyelesaian

5.

Ubah koordinat-koordinat kartesius di bawah ini dalam koordinat kutub !

a. A 4 ,   4 c. C 4 3 , - 12
b. B - 8 2 ,   8 2 d. D - 10 ,   - 10 3
Lihat Penyelesaian

6.

Nyatakaan koordinat-koordinat polar di bawah ini dalam koordinat kartesius !

a. A 10 ,   45 ° c. C 12 ,   210 °
b. B 4 ,   150 ° d. D 8 ,   285 °
Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui titik A 3 ,   60 ° dan B 4 ,   300 ° , tentukan

a. Panjang ruas garis A B dengan rumus A B = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1
b. Nyatakan titik A dan B dalam koordinat kartesius
c. Panjang ruas garis A B dengan rumus A B = x 2 + y 2
Lihat Penyelesaian

8.

Jika sin 37 ° = 3 5 maka tentukan jarak antara kedua titik di bawah ini !

a. A 3 ,   12 ° dan B 5 ,   65 °
b. P 7 ,   100 ° dan Q 10 ,   317 °
Lihat Penyelesaian

9.

Titik A jika dinyatakan dalam koordinat kartesius A ( x ,   4 ) dan jika dinyatakan dalam koordinat polar A ( 6 ,   θ ) , tentukan nilai dari x sec θ !

Lihat Penyelesaian

10.

Titik A terletak di kuadran I I , jika dinyatakan dalam koordinat kartesius A ( - 8 ,   y ) dan dalam koordinat polar A ( 10 ,   β ) , tentukan nilai dari y sin β !

Lihat Penyelesaian


  1. JURUSAN TIGA ANGKA

Jurusan tiga angka adalah menentukan letak sebuah titik atau obyek yang diukur dari titik atau obyek yang lain, ukuran yang dipakai adalah jarak r dan besar sudut ( α ) yang diukur dari arah utara dan searah dengan jarum jam. Penulisan sudut α dengan menggunakan 3 digit.

Langkah menentukan sebuah titik B yang jaraknya r satuan dari A dengan jurusan α

  • Tentukan titik acuannya A

  • Dari titik A di buat arah ke utara

  • Ukur besar sudutnya α dari titik A searah jarum jam

  • Kemudian tentukan titik B dengan jarak r satuan

Contoh : titik P terletak 5 satuan dengan jurusan 095 ° dari titik A

Trigonometri

Perhatikan contoh di bawah ini :

1. Gambarkan titik A , B , dan C dengan kondisi sebagai berikut

  • titik A terletak 10 satuan dengan jurusan 150 ° dari titik M

  • titik B terletak 8 satuan dengan jurusan 060 ° dari titik M

  • titik C terletak 12 satuan dengan jurusan 280 ° dari titik M

jawab :

Trigonometri

2. Gambarkan titik A, B, dan C dengan kondisi sebagai berikut

a. Titik B terletak 10 satuan dari A dengan jurusan 50 ° , dan titik C terletak 5 satuan dari B dengan jurusan 125 °

b. Titik B terletak 10 satuan dari A dengan jurusan 3 00 ° , dan titik C terletak 5 satuan dari B dengan jurusan 75 °

jawab :

a. Titik B terletak 10 satuan dari A dengan jurusan 50 ° , dan titik C terletak 5 satuan dari B dengan jurusan 125 °

Trigonometri


b. Titik B terletak 10 satuan dari A dengan jurusan 3 00 ° , dan titik C terletak 5 satuan dari B dengan jurusan 75 °

Trigonometri

3. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju ke pelabuhan B yang jaraknya 400   k m dengan arah 080 ° , kemudian dari peabuhan B berlayar lagi menuju pelabuhan C sejauh 600   k m dengan arah 170 ° . Sketsa gambarnya dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C !

Jawab :

Dari gambar di bawah ini ditunjukkan bahwa B berjarak 400   k m dan berarah 080 ° dari A , pelabuhan C berjarak 600   k m dan berarah 170 °   dar B .

Trigonometri

Dengan melengkapi sudut-sudutnya didapat A B C = 90 ° , sehingga segitiga A B C siku-siku di B . Dengan rumus Pythagoras kita dapat menghitung jarak A C

A C = 400 2 + 600 2

= 100 4 2 + 6 2

= 100 52

= 200 13

Jadi jarak pelabuhan A dan C adalah 200 13   k m



Sebagai contoh :

1.

Dari gambar di bawah ini tentukan letak masing-masing titik A , B , dan C , dari titik M atau sebaliknya !

Trigonometri

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar di bawah ini, tentukan letak dan jarak

  1. Kota B dari kota A

  2. Kota C dari kota A

  3. Kota B dar i kota C

  4. Kota A dari kota C

  5. Kota A dari kota B

  6. Kota C dari kota B

Trigonometri

Lihat Penyelesaian

3.

Sebuah pesawat terbang dari kota A menuju kota B yang jaraknya 1200   k m dan dengan arah 340 ° , kemudian dari kota B terbang lagi menuju kota C yang jaraknya 1200   k m dengan arah 220 ° .

  1. Gambarkan sketsanya

  2. Tentukan arah dan jarak kota A dari C

Lihat Penyelesaian

4.

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju ke pelabuhan B yang jaraknya 2000   k m dengan arah 055 ° , dari pelabuhan B kemudian melanjutkan perjalanan menuju pelabuhan C yang jaraknya x   k m dengan arah 255 ° . Jika jarak pelabuhan A dan C adalah 1000   k m , maka tentukan

  1. Nilai x

  2. Arah pelabuhan C dari A dan A dari C

Lihat Penyelesaian

5.

Kota B terletak 40   k m dari kota A dengan arah 100 ° , sedangkan kota C terletak 40   k m dari kota B dengan arah 160 ° , gambar dan tentukan

  1. Jarak kota A dan C

  2. Arah kota A dari kota C

  3. Arah kota C dari kota A

Lihat Penyelesaian


  1. PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Sebagai ilustrasi :

Berapakah nilai x jika diketahui cos x = 1 2 ?

Jawabanya untuk nilai x yang memenuhi adalah 30 ° ,     300 ° ,   420 ° , 660 ° ,

dan masih banyak lagi nilai x yang memenuhi sampai tidak berhingga banyaknya .

Secara grafik perhatikan perpotongan antara y = cos x x = 0,5 di bawah ini

Trigonometri

Dari grafik solusinya 30 ° ,     300 ° ,   420 ° , 660 ° dan masik banyak lagi apabila batas nilai x nya tidak dibatasi


Rumus persamaan trigonometri yang sederhana :

Solusi dari persamaan trigonometri :

  1. sin x = sin α maka

      x = α + k . 360 °                                     x = 180 - α + k . 360 ° atau   x = α + k . 2 π                                     x = π - α + k . 2 π

  1. cos x = cos α   maka

      x = α + k . 360 °           x = - α + k . 360 °   atau   x = α + k . 2 π           x = - α + k . 2 π

  1. tan x = tan α maka

    x = α + k . 180 °     atau x = α + k . π

Dengan k adalah bilangan bulat yang memenuhi


Cara lain menyelesaikan persamaan trigonometri :

Karena fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik , maka dengan penambahan atau pengurangan sudut sebesar periodiknya secara berulang tidak akan mengubah nilai trigonometri .

Misalnya :

sin x = 1 2 2 maka solusi untuk nilai x yang memenuhi adalah :

  • x = 45 ° ,   135 ° a w a l untuk 0 < x < 360 °

  • x = 45 ° ,   135 ° a w a l 405 ° ,   495 ° a w a l + 360 ° untuk 0 < x < 720 °

  • x = - 315 ° ,   - 225 ° a w a l - 360 °   45 ° ,   135 ° a w a l 405 ° ,   495 ° a w a l + 360 ° untuk - 360 ° < x < 720 °

Jadi banyaknya solusi x tergantung domain x di soal


Perhatikan contoh soal di bawah ini :

  1. Tentukan penyelesaian dari sin 2 x = 1 2 , untuk 0 < x < 400 ° !

    Jawab :

    Cara pertama :

    Rumus untuk sinus : sin x = sin α x = α + k . 360 ° x = 180 ° - α + k . 360 °

    sin 2 x = 1 2 sin 2 x = sin 30 °

    2 x = 30 ° + k . 360 ° 2 x = 180 ° - 30 ° + k . 360 °  

    x = 15 ° + k . 180 ° x = 75 ° + k . 180 °        k = 0 ,   k = 1 ,   k = 2 k = 0 , k = 1  

    x = 15 ° ,   195 ° , 375 ° x = 75 ° , 255 °   interval x 0 < x < 400 °  

    Himpunan penyelesaiannya x = 15 ° , 75 ° , 195 ° ,   255 ° , 375 °

    Cara kedua :

    Dengan memanfaatkan periode sinus 360 °

    sin 2 x = 1 2 2 x = 30 ° , 150 ° a w a l

    2 x = 30 ° , 150 ° a w a l , 390 ° , 510 ° a w a l + 360 ° , 750 ° , 870 ° a w a l + 720 °

    yang berada di dalam kotak tidak memenuhi

    x = 15 ° , 75 ° , 195 ° ,   255 ° , 375 °


  1. Tentukan penyelesaian dari sec 3 x - 45 ° + 2 = 0 , untuk 0 x 250 ° !

    Jawab :

    Rumus untuk cosinus : cos x = cos α x = α + k . 360 ° x = - α + k . 360 °

    sec 3 x - 45 ° + 2 = 0 sec 3 x - 45 ° = - 2

    cos 3 x - 45 ° = - 1 2

    cos 3 x - 45 ° = cos 120 °

    3 x - 45 ° = 120 ° + k . 360 ° 3 x - 45 ° = - 120 ° + k . 360 °  

    3 x = 165 ° + k . 360 ° 3 x = - 75 ° + k . 360 °

    x = 55 ° + k . 120 ° x = - 25 ° + k . 120 °        k = 0 ,   k = 1 k = 1 , k = 2

    x = 55 ° ,   175 ° x = 95 ° , 215 °   interval x 0 x 250 °  

    Himpunan penyelesaiannya x = 55 ° , 95 ° , 175 ° ,   215 °


  1. Tentukan penyelesaian dari 3 tan 2 x + 60 ° = 3 untuk - 100 ° < x < 100 °

    Jawab :

    Rumus untuk tangen : tan x = tan α x = α + k . 180 °

    3 tan 2 x + 60 ° = 3 tan 2 x + 60 ° = 1 3 3

    tan 2 x + 60 ° = tan 30 °

    2 x + 60 ° = 30 ° + k . 180 °

    2 x = - 30 ° + k . 180 °

    x = - 15 ° + k . 90 °      k = - 1 ,   k = 0 ,   k = 1 k = - 1 , k = 0 , k = 1

    x = - 15 °   ,   75 °   interval x - 100 ° < x < 100 °

    Himpunan penyelesaiannya x = - 15 ° , 75 °


  1. Tentukan penyelesaian dari sin 2 x + 48 ° = cos x untuk 0 x 360 °

    Jawab :

    Rumus untuk sinus : sin x = sin α x = α + k . 360 ° x = 180 ° - α + k . 360 °

    sin 2 x + 48 ° = cos x sin 2 x + 48 ° = sin 90 ° - x

    2 x + 48 ° = 90 ° - x + k . 360 ° 2 x + 48 ° = 180 ° - 90 ° - x + k . 360 °  

    3 x = 42 ° + k . 360 ° x = 42 ° + k . 360 °

    x = 14 ° + k . 120 ° x = 42 ° + k . 360 °        k = 0 ,   1 ,   2 , k = 0  

    x = 14 ° , 134 ° , 254 ° x = 42 °                                                 interval x 0 < x < 360 °  

    Himpunan penyelesaiannya x = 14 ° , 42 ° , 134 ° , 254 °


  1. Tentukan penyelesaian dari 2 sin 2 x + cos x = 2 untuk 0 x 360 °

    Jawab :

    2 sin 2 x + cos x = 2       gunakan identitas sin 2 x = 1 - cos 2 x

    2 1 - cos 2 x + cos x = 2  

    2 - 2 cos 2 x + cos x = 2

    - 2 cos 2 x + cos x = 0

    2 cos 2 x - cos x = 0

    cos x 2 cos x - 1 = 0

    cos x = 0 atau 2 cos x - 1 = 0

    cos x = 1 2

    Untuk cos x = 0 x = 90 ° , 270 °

    Untuk cos x = 1 2 x = 60 ° , 300 °

    Himpunan penyelesaiannya adalah H p = 60 ° , 90 ° , 270 ° , 300 °



Sebagai contoh :

1.

Tentukan penyelesaian persamaan sin x = 1 2 untuk 0 x 720 ° dengan

  1. rumus : jika sin x = sin α maka   x = α + k . 360 °                                     x = 180 ° - α + k . 360 ° , dengan k bulat

  2. memanfaatkan sifat keperiodikan fungsi trigonometri

  3. cara grafik

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar di bawah ini , kedua kurva y = cos x y = sin 2 x untuk interval 0 x 720 ° berpotongan pada x = 30 ° , 90 ° , 150 ° , 270 ° , 390 ° , 450 ° , 510 ° , 630 °

Trigonometri

Tunjukkan secara aljabar bahwa nilai x yang memenuhi adalah

x = 30 ° , 90 ° , 150 ° , 270 ° , 390 ° , 450 ° , 510 ° , 630 °

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di bawah untuk nilai x pada interval - 500 ° < x < 500 ° !

a. sin x = 1 2 3

d . csc x = - 2

b . cos x = 1 2 3

e . sec x = - 2 3 3

c . tan x = - 1

f . cot x = 3

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 2 x = 1 2 ,     - 200 ° < x < 300 °   !

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

  1. 3 tan 5 x + 15 ° + 3 = 0 ,         - 200 ° < x < 100 °

  2. 3 cot 3 x - 15 ° - 3 = 0 , pada interval - 100 x 100

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di bawah untuk nilai x pada interval - 180 ° < x < 360 °

  1. 2 cos ( 2 x + 30 ° ) + 3 = 0

  2. 2 sin ( 3 x + 60 ° ) - 1 = 0

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan Hp dari persamaan

  1. cos 3 x - 60 ° + sin x = 0   pada interval   0 ° x 360 °

  2. sec 3 x - 60 ° - csc x = 0 pada interval   0 ° x 360 °

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

  1. sin 12 x - 120 ° - cos 3 x = 0 ,     0 ° < x < 180 °  

  2. csc 7 x - 110 ° - sec 3 x = 0 ,     0 ° x 200 °

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan Hp dari persamaan

  1. tan 10 x - 15 ° + cot 5 x = 0 ,     0 ° < x < 180 °  

  2. tan ( 6 x - 30 ° ) + cot x - 60 ° = 0 untuk 0 x 360 °

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan Himpunan penyelesaian (Hp) dari persamaan

  1. 2 s i n 2 x - cos x = 1 ,     0 ° x 360 °  

  2. 2  sin 2 x - sin x = 2 sin x cos x - cos x , 0 ° < x < 400 °

Lihat Penyelesaian

11.

Jika 12 sin x cos x + sin 2 x + cos 2 x = 3 sin x + 4 cos x untuk 2 70 ° < x < 360 ° , maka tentukan nilai dari cot x + csc x !

Lihat Penyelesaian

12.

Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 x 360 °

  1. 6 cos 2 x + 5 sin x = 2

  2. sin 2 x + cos x = 1

  3. tan 2 x - sec x - 1 = 0

  4. csc 2 x + 1 - 3 cot x = 1 + 3

Lihat Penyelesaian

13.

Tentukan nilai dari tan x untuk 0 x 180 ° pada persamaan di bawah ini

  1. 2 cos 2 x + 1 = 4 sin x cos x

  2. 2 sin x cos x + 2 = sin x + 4 cos x

Lihat Penyelesaian

14.
  1. Tunjukkan bahwa 2 cos 2 x - 3 sin x sin 2 x + 2 sin x = csc x - 2

  2. Kemudian tentukan penyelesaian dari 2 cos 2 x - 3 sin x sin 2 x + 2 sin x = sec 2 x - 60 ° - 2

    Untuk 0 x 360 °

Lihat Penyelesaian

15.
  1. Tunjukkan bahwa cot 2 x cos 2 x + cos 2 x = cot 2 x

  2. Kemudian tentukan penyelesaian dari cot 2 x cos x + cos x = 1 3 , 0 x 360 °

Lihat Penyelesaian

16.

Tentukan himpunan penyelesaian untuk interval - π x π dari persamaan

  1. 2 sin 3 x - 1 3 π + 1 = 0