1. PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Sebagai ilustrasi :

Berapakah nilai x jika diketahui cos x = 1 2 ?

Jawabanya untuk nilai x yang memenuhi adalah 30 ° ,     300 ° ,   420 ° , 660 ° ,

dan masih banyak lagi nilai x yang memenuhi sampai tidak berhingga banyaknya .

Secara grafik perhatikan perpotongan antara y = cos x x = 0,5 di bawah ini

Trigonometri

Dari grafik solusinya 30 ° ,     300 ° ,   420 ° , 660 ° dan masik banyak lagi apabila batas nilai x nya tidak dibatasi


Rumus persamaan trigonometri yang sederhana :

Solusi dari persamaan trigonometri :

  1. sin x = sin α maka

      x = α + k . 360 °                                     x = 180 - α + k . 360 ° atau   x = α + k . 2 π                                     x = π - α + k . 2 π

  1. cos x = cos α   maka

      x = α + k . 360 °           x = - α + k . 360 °   atau   x = α + k . 2 π           x = - α + k . 2 π

  1. tan x = tan α maka

    x = α + k . 180 °     atau x = α + k . π

Dengan k adalah bilangan bulat yang memenuhi


Cara lain menyelesaikan persamaan trigonometri :

Karena fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik , maka dengan penambahan atau pengurangan sudut sebesar periodiknya secara berulang tidak akan mengubah nilai trigonometri .

Misalnya :

sin x = 1 2 2 maka solusi untuk nilai x yang memenuhi adalah :

  • x = 45 ° ,   135 ° a w a l untuk 0 < x < 360 °

  • x = 45 ° ,   135 ° a w a l 405 ° ,   495 ° a w a l + 360 ° untuk 0 < x < 720 °

  • x = - 315 ° ,   - 225 ° a w a l - 360 °   45 ° ,   135 ° a w a l 405 ° ,   495 ° a w a l + 360 ° untuk - 360 ° < x < 720 °

Jadi banyaknya solusi x tergantung domain x di soal


Perhatikan contoh soal di bawah ini :

  1. Tentukan penyelesaian dari sin 2 x = 1 2 , untuk 0 < x < 400 ° !

    Jawab :

    Cara pertama :

    Rumus untuk sinus : sin x = sin α x = α + k . 360 ° x = 180 ° - α + k . 360 °

    sin 2 x = 1 2 sin 2 x = sin 30 °

    2 x = 30 ° + k . 360 ° 2 x = 180 ° - 30 ° + k . 360 °  

    x = 15 ° + k . 180 ° x = 75 ° + k . 180 °        k = 0 ,   k = 1 ,   k = 2 k = 0 , k = 1  

    x = 15 ° ,   195 ° , 375 ° x = 75 ° , 255 °   interval x 0 < x < 400 °  

    Himpunan penyelesaiannya x = 15 ° , 75 ° , 195 ° ,   255 ° , 375 °

    Cara kedua :

    Dengan memanfaatkan periode sinus 360 °

    sin 2 x = 1 2 2 x = 30 ° , 150 ° a w a l

    2 x = 30 ° , 150 ° a w a l , 390 ° , 510 ° a w a l + 360 ° , 750 ° , 870 ° a w a l + 720 °

    yang berada di dalam kotak tidak memenuhi

    x = 15 ° , 75 ° , 195 ° ,   255 ° , 375 °


  1. Tentukan penyelesaian dari sec 3 x - 45 ° + 2 = 0 , untuk 0 x 250 ° !

    Jawab :

    Rumus untuk cosinus : cos x = cos α x = α + k . 360 ° x = - α + k . 360 °

    sec 3 x - 45 ° + 2 = 0 sec 3 x - 45 ° = - 2

    cos 3 x - 45 ° = - 1 2

    cos 3 x - 45 ° = cos 120 °

    3 x - 45 ° = 120 ° + k . 360 ° 3 x - 45 ° = - 120 ° + k . 360 °  

    3 x = 165 ° + k . 360 ° 3 x = - 75 ° + k . 360 °

    x = 55 ° + k . 120 ° x = - 25 ° + k . 120 °        k = 0 ,   k = 1 k = 1 , k = 2

    x = 55 ° ,   175 ° x = 95 ° , 215 °   interval x 0 x 250 °  

    Himpunan penyelesaiannya x = 55 ° , 95 ° , 175 ° ,   215 °


  1. Tentukan penyelesaian dari 3 tan 2 x + 60 ° = 3 untuk - 100 ° < x < 100 °

    Jawab :

    Rumus untuk tangen : tan x = tan α x = α + k . 180 °

    3 tan 2 x + 60 ° = 3 tan 2 x + 60 ° = 1 3 3

    tan 2 x + 60 ° = tan 30 °

    2 x + 60 ° = 30 ° + k . 180 °

    2 x = - 30 ° + k . 180 °

    x = - 15 ° + k . 90 °      k = - 1 ,   k = 0 ,   k = 1 k = - 1 , k = 0 , k = 1

    x = - 15 °   ,   75 °   interval x - 100 ° < x < 100 °

    Himpunan penyelesaiannya x = - 15 ° , 75 °


  1. Tentukan penyelesaian dari sin 2 x + 48 ° = cos x untuk 0 x 360 °

    Jawab :

    Rumus untuk sinus : sin x = sin α x = α + k . 360 ° x = 180 ° - α + k . 360 °

    sin 2 x + 48 ° = cos x sin 2 x + 48 ° = sin 90 ° - x

    2 x + 48 ° = 90 ° - x + k . 360 ° 2 x + 48 ° = 180 ° - 90 ° - x + k . 360 °  

    3 x = 42 ° + k . 360 ° x = 42 ° + k . 360 °

    x = 14 ° + k . 120 ° x = 42 ° + k . 360 °        k = 0 ,   1 ,   2 , k = 0  

    x = 14 ° , 134 ° , 254 ° x = 42 °                                                 interval x 0 < x < 360 °  

    Himpunan penyelesaiannya x = 14 ° , 42 ° , 134 ° , 254 °


  1. Tentukan penyelesaian dari 2 sin 2 x + cos x = 2 untuk 0 x 360 °

    Jawab :

    2 sin 2 x + cos x = 2       gunakan identitas sin 2 x = 1 - cos 2 x

    2 1 - cos 2 x + cos x = 2  

    2 - 2 cos 2 x + cos x = 2

    - 2 cos 2 x + cos x = 0

    2 cos 2 x - cos x = 0

    cos x 2 cos x - 1 = 0

    cos x = 0 atau 2 cos x - 1 = 0

    cos x = 1 2

    Untuk cos x = 0 x = 90 ° , 270 °

    Untuk cos x = 1 2 x = 60 ° , 300 °

    Himpunan penyelesaiannya adalah H p = 60 ° , 90 ° , 270 ° , 300 °



Sebagai contoh :

1.

Tentukan penyelesaian persamaan sin x = 1 2 untuk 0 x 720 ° dengan

  1. rumus : jika sin x = sin α maka   x = α + k . 360 °                                     x = 180 ° - α + k . 360 ° , dengan k bulat

  2. memanfaatkan sifat keperiodikan fungsi trigonometri

  3. cara grafik

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar di bawah ini , kedua kurva y = cos x y = sin 2 x untuk interval 0 x 720 ° berpotongan pada x = 30 ° , 90 ° , 150 ° , 270 ° , 390 ° , 450 ° , 510 ° , 630 °

Trigonometri

Tunjukkan secara aljabar bahwa nilai x yang memenuhi adalah

x = 30 ° , 90 ° , 150 ° , 270 ° , 390 ° , 450 ° , 510 ° , 630 °

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di bawah untuk nilai x pada interval - 500 ° < x < 500 ° !

a. sin x = 1 2 3

d . csc x = - 2

b . cos x = 1 2 3

e . sec x = - 2 3 3

c . tan x = - 1

f . cot x = 3

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 2 x = 1 2 ,     - 200 ° < x < 300 °   !

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

  1. 3 tan 5 x + 15 ° + 3 = 0 ,         - 200 ° < x < 100 °

  2. 3 cot 3 x - 15 ° - 3 = 0 , pada interval - 100 x 100

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di bawah untuk nilai x pada interval - 180 ° < x < 360 °

  1. 2 cos ( 2 x + 30 ° ) + 3 = 0

  2. 2 sin ( 3 x + 60 ° ) - 1 = 0

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan Hp dari persamaan

  1. cos 3 x - 60 ° + sin x = 0   pada interval   0 ° x 360 °

  2. sec 3 x - 60 ° - csc x = 0 pada interval   0 ° x 360 °

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

  1. sin 12 x - 120 ° - cos 3 x = 0 ,     0 ° < x < 180 °  

  2. csc 7 x - 110 ° - sec 3 x = 0 ,     0 ° x 200 °

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan Hp dari persamaan

  1. tan 10 x - 15 ° + cot 5 x = 0 ,     0 ° < x < 180 °  

  2. tan ( 6 x - 30 ° ) + cot x - 60 ° = 0 untuk 0 x 360 °

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan Himpunan penyelesaian (Hp) dari persamaan

  1. 2 s i n 2 x - cos x = 1 ,     0 ° x 360 °  

  2. 2  sin 2 x - sin x = 2 sin x cos x - cos x , 0 ° < x < 400 °

Lihat Penyelesaian

11.

Jika 12 sin x cos x + sin 2 x + cos 2 x = 3 sin x + 4 cos x untuk 2 70 ° < x < 360 ° , maka tentukan nilai dari cot x + csc x !

Lihat Penyelesaian

12.

Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 x 360 °

  1. 6 cos 2 x + 5 sin x = 2

  2. sin 2 x + cos x = 1

  3. tan 2 x - sec x - 1 = 0

  4. csc 2 x + 1 - 3 cot x = 1 + 3

Lihat Penyelesaian

13.

Tentukan nilai dari tan x untuk 0 x 180 ° pada persamaan di bawah ini

  1. 2 cos 2 x + 1 = 4 sin x cos x

  2. 2 sin x cos x + 2 = sin x + 4 cos x

Lihat Penyelesaian

14.
  1. Tunjukkan bahwa 2 cos 2 x - 3 sin x sin 2 x + 2 sin x = csc x - 2

  2. Kemudian tentukan penyelesaian dari 2 cos 2 x - 3 sin x sin 2 x + 2 sin x = sec 2 x - 60 ° - 2

    Untuk 0 x 360 °

Lihat Penyelesaian

15.
  1. Tunjukkan bahwa cot 2 x cos 2 x + cos 2 x = cot 2 x

  2. Kemudian tentukan penyelesaian dari cot 2 x cos x + cos x = 1 3 , 0 x 360 °

Lihat Penyelesaian

16.

Tentukan himpunan penyelesaian untuk interval - π x π dari persamaan

  1. 2 sin 3 x - 1 3 π + 1 = 0

  2. cos 5 x + 2 3 π + sin x = 0

Lihat Penyelesaian

17.

Tentukan himpunan penyelesaian untuk interval 0 x 2 π dari persamaan

  1. 3 tan 4 x - π 4 = 3

  2. tan 3 x + cot 2 x = 0

Lihat Penyelesaian

18.

Tentukan himpunan penyelesaian untuk interval 0 x 2 π dari persamaan

  1. sin 2 x + sin x = cos 2 x

  2. 3 sec 2 x = 6 + 2 3 tan x

Lihat Penyelesaian

19.
  1. Tunjukkan bahwa 1 cos 2 x - cos 2 x 1 + sin 2 x = tan 2 x

  2. Kemudian tentukan penyelesaian dari 1 cos 2 x - cos 2 x 1 + sin 2 x = cot x , 0 x 2 π

Lihat Penyelesaian

20.
  1. Tunjukkan bahwa 1 1 + sin 3 x + 1 1 - sin 3 x = 2 sec 2 3 x

  2. Kemudian tentukan penyelesaian dari 1 1 + sin 3 x + 1 1 - sin 3 x = 8 , 0 x 2 π

Lihat Penyelesaian