1. KOORDINAT POLAR ATAU KOORDINAT KUTUB

Koordinat polar adalah koordinat yang letaknya ditentukan oleh sudut ( α ) yang dibentuk oleh sumbu X positif dan arahnya berlawanan dengan jarum jam dan jaraknya ( r ) dihitung dari titik asal koordinat


Trigonometri

Hubungan koordinat polar dengan koordinat kartesius

r ,   α     x ,   y   : x = r cos α y = r   s i n   α

x ,   y r ,   α     :   r = x 2 + y 2 tan α = y x              


Jarak antara dua titik dalam koordinat polar atau kutub A r 1 , α 1 dan B r 2 , α 2 adalah

A B = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1


Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Nyatakan titik A dan B di bawah ini dalam koordinat kartesius !

    1. Trigonometri

    1. Trigonometri

    Jawab :

  1. Diketahui koordinat polar A 6 ,   30 °

    A 6 ,   30 ° = A r , α

    r = 6 dan α = 30 °

    x = r cos α y = r sin α

    x = 6 cos 30 ° = 6 1 2 3 = 3 3 y = 6 sin 30 ° = 6 1 2 = 3  

    Jadi koordinat kartesiusnya adalah A 3 3 ,   3

    Trigonometri


  1. Diketahui koordinat polar A 8 ,   225 °

    A 8 ,   225 ° = A r , α

    r = 8 dan α = 225 °

    x = r cos α y = r sin α

    x = 8 cos 225 ° = 8 - 1 2 2 = - 4 2 y = 8 sin 225 ° = 8 - 1 2 2 = - 4 2  

    Jadi koordinat kartesiusnya adalah A - 4 2 ,   - 4 2

    Trigonometri


  1. Nyatakan titik P dan Q di bawah ini dalam koordinat kutub

    a. P 6 ,   - 2 3 b. Q - 5 ,   5

    Jawab :

  1. Diketahui koordinat kartesius P 6 ,   - 2 3

    P 6 ,   - 2 3 = P x ,   y x = 6 dan y = - 2 3

    r = x 2 + y 2

    = 6 2 + - 2 3 2

    = 36 + 12

    = 48

    = 4 3

    tan α = y x

    = - 2 3 6   x positif dan y negatif maka α dikuadran I V

    = - 1 3 3

    α = 300 °

    Jadi koordinat polar/ kutubnya adalah 4 3 ,   300 °


  2. Diketahui koordinat kartesius Q - 5 ,   5

    P - 5 ,   5 = P x ,   y x = - 5 dan y = 5

    r = x 2 + y 2

    = - 5 2 + 5 2

    = 25 + 25

    = 50

    = 5 2

    tan α = y x

    = 5 - 5     x negatif dan y positif maka α dikuadran I I

    = - 1

    α = 135 °

    Jadi koordinat polar/ kutubnya adalah 5 2 ,   135 °


  1. Buktikan bahwa jarak antara dua titik dalam koordinat kutub A r 1 , α 1 dan B r 2 , α 2 adalah = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1 , dan kemudian tentukan jarak antara titik A 3 ,   20 ° dan B 6 ,   140 ° !

    Bukti :

    Jika A r 1 , α 1 = A x A , y A dan B r 2 , α 2 = B x B , y B

    maka akan dibuktikan bahwa A B = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1

    A r 1 , α 1 x A = r 1 cos α 1 y A = r 1 sin α 1 dan B r 2 , α 2 x B = r 2 cos α 2 y B = r 2 sin α 2

    x A 2 + y A 2 = r 1 cos α 1 2 + r 1 sin α 1 2

    = r 1 2 cos 2 α 1 + sin 2 α 1      cos 2 α 1 + sin 2 α 1 = 1

    = r 1 2

    Dengan cara yang sama : x B 2 + y B 2 = r 2 2

    Gunakan : cos α 2 - α 1 = cos α 2 cos α 1 + sin α 2 sin α 1

    A B = x 2 + y 2

    = x B - x A 2 + y B - y A 2

    = x B 2 - 2 x B x A + x A 2 + y B 2 - 2 y B y A + y A 2

    = x A 2 + y A 2 + x B 2 + y B 2 - 2 x B x A + y B y A

    = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 2 r 1 cos α 2 cos α 1 + r 2 r 1 sin α 2 sin α 1

    = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 2 r 1 cos α 2 cos α 1 + sin α 2 sin α 1

    = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1

    Terbukti

    Jarak antara titik A 3 ,   20 ° dan B 6 ,   140 ° adalah :

    A B = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1

    = 3 2 + 6 2 - 2 3 6 cos 140 ° - 20 °

    = 9 + 36 - 36 cos 120 °

    = 45 - 36 - 1 2

    = 45 + 18

    = 63

    = 3 7



Sebagai contoh :

1.

Diketahui koordinat kutub A 6 ,   225 ° , gambar dan nyatakan dalam koordinat kartesius !

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui koordinat kartesius B 4 ,   - 4 3 , gambar dan nyatakan dalam koordinat kutub !

Lihat Penyelesaian

3.

Nyatakan titik A - 4 ,   4 3 dalam koordinat kutub !

Lihat Penyelesaian

4.

Nyatakan koordinat polar A ( 20 ,     5 4 π ) dalam koordinat kartesius !

Lihat Penyelesaian

5.

Ubah koordinat-koordinat kartesius di bawah ini dalam koordinat kutub !

a. A 4 ,   4 c. C 4 3 , - 12
b. B - 8 2 ,   8 2 d. D - 10 ,   - 10 3
Lihat Penyelesaian

6.

Nyatakaan koordinat-koordinat polar di bawah ini dalam koordinat kartesius !

a. A 10 ,   45 ° c. C 12 ,   210 °
b. B 4 ,   150 ° d. D 8 ,   285 °
Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui titik A 3 ,   60 ° dan B 4 ,   300 ° , tentukan

a. Panjang ruas garis A B dengan rumus A B = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 cos α 2 - α 1
b. Nyatakan titik A dan B dalam koordinat kartesius
c. Panjang ruas garis A B dengan rumus A B = x 2 + y 2
Lihat Penyelesaian

8.

Jika sin 37 ° = 3 5 maka tentukan jarak antara kedua titik di bawah ini !

a. A 3 ,   12 ° dan B 5 ,   65 °
b. P 7 ,   100 ° dan Q 10 ,   317 °
Lihat Penyelesaian

9.

Titik A jika dinyatakan dalam koordinat kartesius A ( x ,   4 ) dan jika dinyatakan dalam koordinat polar A ( 6 ,   θ ) , tentukan nilai dari x sec θ !

Lihat Penyelesaian

10.

Titik A terletak di kuadran I I , jika dinyatakan dalam koordinat kartesius A ( - 8 ,   y ) dan dalam koordinat polar A ( 10 ,   β ) , tentukan nilai dari y sin β !

Lihat Penyelesaian