1. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Rumus-rumus identitas trigonometri :

  1. Rumus dasar identitas trigonometri

    si n 2 x + co s 2 x = 1

  1. Hubungan antar fungsi trigonometri

    a. tan x = sin x cos x c. cot x = 1 tan x e. csc x = 1 sin x
    b. cot x = cos x sin x d. sec x = 1 cos x
  1. Penulisan lain identitas trigonometri

    1. tan 2 x + 1 = sec 2 x

      si n 2 x + co s 2 x = 1 kedua ruas dibagi cos 2 x

      sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x diperoleh tan 2 x + 1 = sec 2 x

    1. 1 + cot 2 x = csc 2 x

      si n 2 x + co s 2 x = 1 kedua ruas dibagi sin 2 x

      sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = 1 sin 2 x diperoleh 1 + cot 2 x = csc 2 x

  1. Trigonometri sudut negative

    1. sin - x = - sin x     csc - x = - csc x

    2. cos - x = cos x     sec - x = sec x  

    3. tan - x = - tan x   cot - x = - cot x


Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Bukti bahwa cos 2 x + sin 2 x = 1 !

    Trigonometri

    Pada segitiga siku-siku berlaku perbandingan trigonometri

    Pada gambar di samping berlaku rumus pitagoras

    x 2 + y 2 = r 2

    Kemudian kita bagi masing-masing ruas dengan r2

    x 2 + y 2 r 2 = r 2 r 2 xr2+yr2=1

    Dengan mengganti sinα=yr cosα=xr didapat

    cos 2 x + sin 2 x = 1 (terbukti)


  1. Buktikan bahwa cos 2 x 1 - sin x - tan x cos x = 1

    Bukti :

    cos 2 x 1 - sin x - tan x cos x = 1 - sin 2 x 1 - sin x - sin x cos x cos x   cos 2 x = 1 - sin 2 x

    = 1 - sin x 1 + sin x 1 - sin x - sin x

    = 1 + sin x - sin x

    = 1    

    terbukti


  1. Buktikan bahwa 1 + cos x sin x = sin x 1 - cos x !

    Bukti :

    1 + cos x sin x = 1 + cos x sin x × 1 - cos x 1 - cos x

    = 1 - cos 2 x sin x 1 - cos x     sin 2 x = 1 - cos 2 x

    = sin 2 x sin x 1 - cos x

    = sin x 1 - cos x

    Terbukti


  1. Jika sin x + cos x = 1,2 maka tentukan

    a. sin x cos x b. sin 3 x + cos 3 x

    Jawab :

    1. sin x cos x

    sin x + cos x = 1,2

    sin x + cos x 2 = 1,2 2       kuadratkan kedua ruas

    sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x = 1,44   sin 2 x + cos 2 x = 1

    1 + 2 sin x cos x = 1,44

    2 sin x cos x = 0,44

    sin x cos x = 0,22


    1. sin 3 x + cos 3 x

    a 3 + b 3 = a + b 3 - 3 a b a + b

    Substitusikan a = sin x dan b = cos x

    sin 3 x + cos 3 x = sin x + cos x 3 - 3 sin x cos x sin x + cos x

    = 1,2 3 - 3 0,22 1,2

    = 1,728 - 0,792

    = 0,936


  1. Jika sec x + tan x = 11 maka tentukan nilai dari

    a. sec x b. tan x

    Jawab :

    1. sec x

      sec x + tan x = 11

      sec x + tan x 2 = 11 2

      sec 2 x + 2 sec x tan x + tan 2 x = 121

      sec 2 x + 2 sec x tan x + sec 2 x - 1 = 121     tan 2 x = sec 2 x - 1

      2 sec 2 x + 2 sec x tan x = 122

      2 sec x sec x + tan x = 122

      2 sec x 11 = 122

      sec x = 122 22

      = 61 11


    1. tan x

      Dari sec x + tan x = 11 Kita substitusikan sec x = 61 11

      61 11 + tan x = 11

      tan x = 11 - 61 11

      = 60 11



Sebagai contoh :

1.

Buktikan bahwa

a. 1 - sin β 1 + sin β = cos 2 β b. 1 - 2 cos 2 β = 2 sin 2 β - 1
Lihat Penyelesaian

2.

Buktikan bahwa

a. 1 - csc 2 y 1 - sin y 1 + sin y = - csc 2 y b. 1 - sec 2 y 1 - cos y 1 + cos y = - sec 2 y
Lihat Penyelesaian

3.

Buktikan bahwa

a. si n 2 x 1 + cos x = 1 - cos x c. sin x + cos x 2 - 1 sin x = 2 cos x
b. 1 - sin 4 x cos 2 x = 1 + sin 2 x d. 1 - sin x cos x = cos x 1 + sin x
Lihat Penyelesaian

4.

Buktikan bahwa

a. 1 - 2 sin 2 α sin α + cos α + 1 - cos 2 α sin α = cos α b. 1 - 2 cos 2 α sin α + cos α + 1 - sin 2 α cos α = sin α
Lihat Penyelesaian

5.

Buktikan bahwa

a. sec x + csc x sin x + cos x = sec x csc x b. tan x + cot x sec x csc x = 1
Lihat Penyelesaian

6.

Buktikan bahwa

a. 1 - cos x 1 + cos x = csc x - cot x b. 1 + sin x 1 - sin x = sec x + tan x
Lihat Penyelesaian

7.
a. Jika sin x + cos x = 1,3   maka tentukan nilai dari sin x cos x !
b. Jika sin x cos x = 0,105 maka tentukan nilai sin x + cos x !
Lihat Penyelesaian

8.
a. Jika sin x + cos x = 1,2     0 < x < 45 °   maka tentukan nilai dari sin x - cos x !
b. Jika sin x + cos x = 1,2     45 ° < x < 90 °   maka tentukan nilai dari sin x - cos x !
Lihat Penyelesaian

9.

Jika sin A - cos A = 1 3 maka tentukan

a. sin A cos A b. sec A - csc A
Lihat Penyelesaian

10.

Diketahui sec x + tan x = 10 maka tentukan nilai dari

a. sec x b. sec x - tan x
Lihat Penyelesaian

11.

Diketahui csc x + cot x = 9 maka tentukan nilai dari

a. csc x b. csc x - cot x
Lihat Penyelesaian

12.

Buktikan bahwa

a. 1 + cos   x 1 + sec x = cos x c. 1 + cos x 1 - cos x - 1 - cos x 1 + cos x = 4 cot x csc x
b. 1 - tan x 1 + tan 2 x = cos 2 x - sin 2 x d. 1 - sin x cos x + cos x 1 - sin x = 2 sec x
Lihat Penyelesaian

13.

Buktikan bahwa

a. sin A csc A - cot A - sin A tan A = 1
b. 1 sin A + 1 - 1 sin A - 1 = 2 sec 2 A
c. sec A sec A + tan A + tan A sec A - tan A = 1 + 2 tan 2 A
d. 2 - csc 2 A csc 2 A + 2 cot A = sin A - cos A sin A + cos A
Lihat Penyelesaian

14.

Buktikan bahwa

a. sin 2 α + sin 2 α tan 2 α = tan 2 α
b. tan 2 α - cot 2 α = sec 2 α - cot 2 α
c. cos 4 α - sin 4 α = cos 2 α - sin 2 α
d. tan 4 α + tan 2 α = sec 4 α - sec 2 α
Lihat Penyelesaian

15.

Buktikan bahwa :

a. sec θ csc θ = tan θ + cot θ
b. 1 - cos θ 1 + sec θ = sin θ tan θ
c. 1 + tan θ - sec θ 1 + cot θ + csc θ = 2
d. 1 + sec θ 2 + 1 - sec θ 2 = 4 + 2 tan 2 θ
Lihat Penyelesaian

16.

Buktikan bahwa

a. 2 - cos 2 x - 3 sin x cos x 2 sin x - cos x = sin x - cos x
b. sin x 1 + sec x - sin x 1 - sec x = 2 cot x
c. cos x   + sec y cos y + sec x = cos x cos y
d. 1 - 2 cos 2 x 1 + 2 sin x cos x = sin x - cos x sin x + cos x
Lihat Penyelesaian

17.

Buktikan bahwa

a. cos   90 °   + cos ( 270 °   +   x ) sin   90 ° cos ( 180 ° - x ) = 1 - cos x sin x
b. csc 90 ° + x -   cot  270 °   -   x sec 360 ° - x + tan 180 °   +   x = sec x - tan x
Lihat Penyelesaian

18.

Buktikan sin 100 ° + x cos 350 ° - x   cos 100 ° + x sin ( 170 ° - x ) csc ( 260 ° - x ) = - cos 10 ° + x

Lihat Penyelesaian

19.

Buktikan bahwa

a. cos 0   + sin 90 ° - x sin 90 ° + csc 90 ° + x = cos x b. cos 270 ° + x csc 180 ° - x + cot 180 ° - x = 1 + cos x
Lihat Penyelesaian

20.

Buktikan bahwa sin 2 100 ° - A sin 190 ° - A + 1 - sin 2 260 ° + A sin 190 ° - A - 1 = 2 !

Lihat Penyelesaian