1. TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Ilustrasi pertama:

Perhatikan grafik fungsi sinus di bawah ini :

Trigonometri Sudut Berelasi

Perhatikan grafik fungsi sinus di atas :

sin α = m ,

sin 180 ° - α = m

sin 180 ° + α = - m

sin 360 ° - α = - m

Dapat disimpulkan bahwa :

sin 180 ° - α = sin α

sin 180 ° + α = - sin α

sin 360 ° - α = - sin α

Ilustrasi kedua :

Perhatikan gambar segitiga siku-siku di bawah ini :

Trigonometri Sudut Berelasi

cos θ = x r sin 90 ° - θ = x r jadi sin 90 ° - θ = cos θ

sin θ = y r cos 90 ° - θ = y r jadi cos 90 ° - θ = sin θ

cot θ = x y tan 90 ° - θ = x y jadi tan 90 ° - θ = cot θ

Secara umum table dari trigo nometri sudut berelasi adalah :

Tabel trigonometri sudut berelasi

KUADRAN II  

sin ( 90 ° + x ) = cos x  

cos ( 90 ° + x ) = - sin x  

tan ( 90 ° + x ) = - cot x  

sin ( 180 ° - x ) = sin x  

cos ( 180 ° - x ) = - cos x

tan ( 180 ° - x ) = - tan x

KUADRAN I

sin ( 360 ° + x ) = sin x

cos ( 360 ° + x ) = cos x

tan ( 360 ° + x ) = tan x

sin ( 90 ° - x ) = cos x

cos ( 90 ° - x ) = sin x

tan ( 90 ° - x ) = cot x

KUADRAN III  

sin ( 180 ° + x ) = - sin x

cos ( 180 ° + x ) = - cos x

tan ( 180 ° + x ) = tan x

sin ( 270 ° - x ) = - cos x  

cos ( 270 ° - x ) = - sin x  

tan ( 270 ° - x ) = cot x

KUADRAN IV

sin ( 270 ° + x ) = - cos x

cos ( 270 ° + x ) = sin x

tan ( 270 ° + x ) = - cot x

sin ( 360 ° - x ) = - sin x

cos ( 360 ° - x ) = cos x

tan ( 360 ° - x ) = - tan x



CARA MEMAHAMI TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Untuk sudut (90°±α) atau (270°±α) terjadi perubahan trigonometri :

  • Sinus berubah menjadi cosinus atau sebaliknya

  • Tangen berubah menjadi tangen atau sebaliknya

  • Secan berubah menjadi cosecant atau sebaliknya

Untuk sudut (180°±α) atau (360°±α) tidak terjadi perubahan trigonometri

Cara membaca letak sudut di berbagai kuadran untuk menentukan hasilnya bernilai positif atau negatif adalah sebagai berikut :

  • 90 ° - α terletak di kuadran I

  • 90 ° + α dan 180 ° - α terletak di kuadran II

  • 180 ° + α dan 270 ° - α terletak di kuadran III

  • 270 ° + α dan 360 ° - α terletak di kuadran IV


Contoh :

  1. Nyatakan bentuk trigonometri di bawah ini dalam sudut α !

a. sin 180 ° + α c. cos 270 ° + α
b. tan 90 ° + α d. sec 180 - α

Jawab :

  1. sin 180 ° + α

Karena sudutnya masuk kategori ( 180 ° ± α ) atau ( 360 ° ± α ) maka tidak terjadi perubahan trigonometri , sinus tetap sinus .

180 ° + α masuk dalam kuadran 3 jadi sinus bernilai negative

sin 180 ° + α = - sin α


  1. tan 90 ° + α  

Karena sudutnya masuk kategori ( 90 ° ± α ) atau ( 270 ° ± α ) maka terjadi perubahan trigonometri , dari tangen menjadi cotangen

90 ° + α masuk dalam kuadran 2 jadi tangen bernilai negative

tan 90 ° + α = - cot α


  1. cos 270 ° + α

Karena sudutnya masuk kategori ( 90 ° ± α ) atau ( 270 ° ± α ) maka terjadi perubahan trigonometri , dari cosinus menjadi sinus

270 ° + α masuk dalam kuadran 4 jadi cosinus bernilai positif

cos 270 ° + α = sin α


  1. sec 180 - α

Karena sudutnya masuk kategori ( 180 ° ± α ) atau ( 360 ° ± α ) maka tidak terjadi perubahan trigonometri , secan tetap secan.

180 ° - α masuk dalam kuadran 2 jadi secan bernilai negative

sec 180 ° - α = - sec α


  1. Nyatakan dalam trigonometri dengan sudut x,

a. sin ( 270 ° + x ) c. sec ( 90 ° - x ) e. csc ( 180 + x )
b. cos ( 90 ° + x ) d. tan ( 360 ° - x ) f. cot ( 270 ° - x )

Jawab :

Untuk sudut 90 ° ± x   270 ° ± x terjadi perubahan trigonometri

sin   c o s , tan   c o t , dan sec c s c

Untuk sudut 180 ° ± x   360 ° ± x tidak terjadi perubahan

a. sin(270°+x)=-cosx

( 270 ° + x ) di kuadran IV maka nilai s i n u s negatif

Terjadi perubahan dari sinus menjadi cosinus

b . cos(90°+x)=-sinx

( 90 ° + x ) di kuadran II maka nilai c o s i n u s negatif ,

Terjadi perubahan dari cosinus menjadi sinus

c . sec(90°-x)=cscx

( 90 ° - x ) di kuadran I maka nilai secan positif ,

terjadi perubahan secan menjadi cosecan

  1. tan ( 360 ° - x ) = - tan x

( 360 ° - x ) di kuadran I V maka nilai tangen positif

Tidak terjadi perubahan

  1. csc ( 180 ° + x ) = - csc x

( 180 ° + x ) di kuadran I II maka n ilai cosecan negatif

Tidak t erjadi perubahan

  1. cot ( 270 ° - x ) = tan x

( 90 ° - x ) di kuadran I maka nilai cotangen positif ,

terjadi perubahan cotangen menjadi tangen


  1. Nyatakan sudutnya dalam 25 ° untuk masing-masing trigonometri

a. sin 155 ° d. csc 335 °

b. cos 245 ° e. sec 65 °

c. tan 115 ° f . cot 205 °

Jawab :

  1. sin 155 ° = sin 180 ° - 25 °

    = sin 25 °

  1. cos 245 ° = cos 270 ° - 25 °

    = - sin 25 °

  1. tan 115 ° = tan 90 ° + 25 °

    = - cot 25 °  

  1. csc 335 ° = csc 360 ° - 25 °

    = - csc 25 °

  1. sec 65 ° = sec 90 ° - 25 °

    = csc 25 °

  1. cot 205 ° = cot 180 ° + 25 °

    = cot 25 °


  1. Nyatakan sudutnya dalam x + 10 ° untuk masing-masing trigonometri

a. sin 80 ° - x c. tan 100 ° + x
b. cos 190 ° + x d. sec 350 ° - x

Jawab :

  1. sin 80 ° - x = sin 90 ° - x + 10 °

    = cos x + 10 °  

  1. cos 190 ° + x = cos 180 ° + x + 10 °  

    = - cos x + 10 °

  1. tan 100 ° + x = tan 90 ° + x + 10 °

    = - cot x + 10 °

  1. sec 350 ° - x = sec 360 ° - x + 10 °

    = sec x + 10 °


  1. Nyatakan trigonometri di bawah ini, sudutnya dalam x - 12 °

a. sin 798 ° + x c. cos x - 282 °

b. tan 1722 ° - x d. cot x - 3882 °

Jawab :

  1. sin 798 ° + x = sin 798 ° + x - 2 × 360 °

    = sin 78 ° + x

    = sin 90 ° + x - 12 °

    = cos x - 12 °  


  1. tan 1722 ° - x = tan 1722 ° - x - 4 × 360 °  

    = tan 282 ° - x

    = tan 270 ° - x - 12 °

    = cot x - 12 °


  1. cos x - 282 ° = cos x - 282 ° + 360 °

    = cos x + 78 °

    = cos 90 ° + x - 12 °

    = - sin x - 12 °


  1. cot x - 3882 ° = cot x - 3882 ° + 11 × 360 °

    = cot x + 78 °

    = cot 90 ° + x - 12 °

    = - tan x - 12 °



Sebagai contoh :

1.

Tunjukkan bahwa

a. sin - x = - sin x b. cos - x = cos x c. tan - x = - tan x
Lihat Penyelesaian

2.

Buatlah table trigonometri sudut berelasi untuk c o s e c a n , s e c a n , dan c o t a n g e n !

Lihat Penyelesaian

3.

Nyatakan trigonometri-trigonometri di bawah ini sudutnya dalam α

a. sin ( 90 ° + α ) b. csc ( 270 ° - α ) c. tan ( 180 ° - α )
Lihat Penyelesaian

4.

Nyatakan sudutnya dalam x untuk setiap trigonometri di bawah ini

a. sin x - 180 ° c. tan x - 90 °
b. cos x - 270 ° d. cot - x - 270 °
Lihat Penyelesaian

5.

Nyatakan sudutnya dalam 10 ° - θ untuk trigonometri di bawah ini

a. cos 170 ° + θ c. cos 1360 ° - θ
b. sin θ - 100 ° d. sin - θ - 1340 °
Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan bentuk sederhana dari

a. M = sin 90 ° + x + 2 cos 180 ° + x - sin ( 270 ° - x )
b. N = cos x - 90 ° + 3 sin x - 180 ° + 5 cos x - 270 °
Lihat Penyelesaian

7.

Jika 4 sin 88 ° - x - 3 cos 182 ° + x + 2 sin 358 ° - x - cos ( 272 ° + x ) = a cos x + 2 ° + b sin ( x + 2 ° ) , maka nilai dari 3a + b = ...

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui sin 24 ° = m 2 - 4 m 2 + 4 maka tentukan tan 246 ° + sec 114 °     !

Lihat Penyelesaian

9.

Jika diketahui sin 37 ° = 0,6 (bukan nilai eksak, melainkan pembulatan) , tentukan

a. sin 53 ° + cos 53 ° c. tan 323 ° - sin 217 ° + cos 307 °
b. tan 37 ° + tan 53 ° b. sin 143 ° - cos 233 ° - tan 127 °
Lihat Penyelesaian

10.

Tunjukkan bahwa

a. cos 93 ° + x - sin 87 ° - x cos 267 ° - x + sin 273 ° + x = 1 b. 5 sin 95 ° + x     +   6 cos 175 ° - x 7 sin 275 ° + x   +   8 cos 185 ° + x = 1 15
Lihat Penyelesaian