A. PENGERTIAN MATRIKS

Matriks adalah susunan bilangan menurut baris dan kolom dalam kurung biasa atau siku dan berbentuk persegi panjang. Tanda kurung matriks adalah atau .


Sebagai contoh :

1.

Diantara susunan bilangan di bawah ini, mana yang merupakan matriks dan bukan matriks :

1 2 3 2 1 4
2 , 4 , 5
- 1 0 4 11
1 2 4 4 4 6 1 2 2 5 2 - 3 4 3 9 1 - 5 3 4

3


Lihat Penyelesaian
2.

Diantara bentuk-bentuk dibawah ini, mana yang merupakan matriks, dan bukan matriks ?

a. sin π cos π tan π 4

c. α β γ δ ε ϵ

b. 2 2 2 2

d. roti nasi


Lihat Penyelesaian


Ordo sebuah matriks adalah menyatakan banyaknya baris dan banyaknya kolom sebuah matriks dan ditulis dalam bentuk baris × kolom


Sebagai contoh :

1.

Tentukan Orde dari masing-masing matriks di bawah ini ?

a. 1 5


d. 8

b. 1 9 - 3 2 5 4 3 2 5

e. 3 0 1 - 1 0 4 8 10 2 9 8 - 7 6 - 10 - 1

c. - 1 3 5 6 1 2 5 0


Lihat Penyelesaian
2.

Buatlah matriks dengan ketentuan sebagai berikut :

a. Matriks berukuran 4 × 3 dengan baris ke n berisi bilangan n ?

b. Matriks berukuran 2 × 4 dengan kolom ke n berisi bilangan n


Lihat Penyelesaian


Penulisan nama matriks di tulis dengan huruf besar, tetapi elemen-elemen sebuah matriks ditulis dengan huruf kecil.

Misalnya : A = 4 - 8 - 1 - 2 3 10 adalah matriks A dengan orde 3 × 2 dan ditulis A 3 × 2

Dan a ij adalah elemen matriks A baris ke i dan kolom ke j


Sebagai contoh :

1.

Diketahui matriks A = - 11 12 - 13 3 3 9 , tentukan nilai dari

a. a 21

b. a 32

c. a 22 - a 12


Lihat Penyelesaian
2.

Jika matriks B = 3 2 1 0 - 7 9 6 7 6 5 5 3 maka tentukan b 11 . b 22 - b 31 ?


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan matriks M 3 × 2 , jika m ij = 3 i + j ?


Lihat Penyelesaian


Transpose matriks A di tulis dengan A T adalah penukaran setiap baris menjadi kolom atau sebaliknya dari matriks A

Jika A m × n maka A n × m T


Sebagai contoh :

1.

1. Tentuan transpose dari matriks A = 2 3 , B = 1 2 5 , dan C = 1 5 - 1 3 ?


Lihat Penyelesaian
2.

Matriks A berordo 3 × 3 ,dan a ij adalah elemen matriks A baris ke i kolom ke j. Jika nilai a ij didefinisikan dengan a ij = 1 + i - j , tentukan matriks A dan A T


Lihat Penyelesaian

B. BEBERAPA NAMA-NAMA MATRIKS

Di bawah ini adalah nama-nama beberapa matriks

1.

Matriks baris : adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris saja

Contoh matriks baris: 1 2 , - 1 0 4

2.

matriks kolom : adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh matriks kolom : 3 - 1 , 3 2 9

3.

Matriks persegi : adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom sama

Contoh matriks persegi : 1 - 4 3 0 , 3 4 5 5 1 4 6 7 9

4.

Matriks identitas perkalian : adalah matriks persegi yang mempunyai elemen diagonal utamanya adalah 1, dan yang lainnya 0

Contoh matriks identitas : 1 0 0 1 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

5.

Matriks diagonal atas : adalah matriks persegi yang mempunyai semua elemen di bawah diagonal utama adalah 0

Contoh matriks diagonal atas : 1 - 4 0 2 , 3 4 5 0 1 4 0 0 9

6.

Matriks diagonal bawah : adalah matriks persegi yang mempunyai semua elemen di atas diagonal utama adalah 0

Contoh matriks diagonal bawah : 3 0 8 - 2 , 3 0 0 7 4 0 - 1 3 9

Dan masih banyak matriks-matriks yang lain.


Sebagai contoh :

1.

Buatlah sebuah matriks dengan ketentuan sebagai berikut

a. matriks persegi yang 3 × 3 dengan semua elemennya 3

b. matriks identitas perkalian 4 × 4


Lihat Penyelesaian
2.

Buatlah matriks dengan ketentuan sebagai berikut

a. matriks kolom yang terdiri dari 3 elemen dengan elemen baris ke n adalah n

b. matriks baris yang terdiri dari 6 elemen dengan kolom ke n adalah 10 n


Lihat Penyelesaian
3.

Buatlah matriks diagonal atas 4×4 dengan elemen diagonal utamanya semua 5, dan elemen di atas diagonalnya adalah 2 ?


Lihat Penyelesaian
4.

Buatlah matriks diagonal bawah 6×6 dengan elemen diagonal utamanya semua 3, dan elemen di bawah diagonalnya adalah 1 ?


Lihat Penyelesaian

C. KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak juga bernilai sama.


Sebagai contoh :

1.

Diketahui matriks A = 1 3 , B = 1 3 , C = 2 5 - 1 6 , dan D = 2 0 - 1 6
Dari keempat matriks ini, manakah yang sama ?


Lihat Penyelesaian
2.

Jika 1 m 2 3 n 4 = a 3 2 b - 1 4 maka tentukan nilai dari a + b - m - n ?


Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui A = 2 0 4 5 , dan B = 2 m + n m - n 3 , jika A = B
tentukan nilai m dan n ?


Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui M = 1 3 4 - 1 - 2 - 7 , dan N = p 3 4 p + q - 2 - 7 , jika M = N maka tentukan nilai q ?


Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui matriks A = 1 2 4 x 3 5 y z 6 . Jika A = A T (A transpose), maka tentukan
nilai x , y , dan z ?


Lihat Penyelesaian

D. OPERASI PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL

Sebuah matriks jika dikalikan dengan bilangan real akan menghasilkan matriks baru dengan ordo sama dengan elemen-elemen yang baru adalah hasil kali antara elemen yang lama dengan bilangan real tersebut.


Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. 2 1 10 6 - 3 b. 3 1 4 - 1 c. - 5 1 3 5 7 - 3 0 11 4


Lihat Penyelesaian
2.

Jika A = 1 5 - 3 2 4 0 maka tentukan matriks dari

a. - 5 A b. 4 A T c. 2 A T


Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui M = 3 1 , N = a + b a - b , jika M = 1 3 N maka tentukan nilai b ?


Lihat Penyelesaian

E. OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

Operasi penjumlahan dan pengurangan dua buah matriks bisa dilakukan jika ordonya sama , dan elemen – elemen yang seletak yang dioperasikan.


Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. 1 3 + 4 2 6 4

b. 2 - 1 3 4 - 3 2 5 - 5

c. 2 4 - 1 3 0 9 + 1 4 2 5 3 6


Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui A = 1 3 - 1 7 , dan B = 2 3 4 5 . Tentukan

a. 2 A - B

b. 3 A + 2 B T

c. A + A T - 3 B


Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui matriks –matriks A = 9 10 - 3 3 4 - 1 , B = 0 5 2 1 - 4 6 ,
dan
C = 9 a c 6 b d . Jika A + 3 B = C maka tentukan a + b + c + d ?


Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui A = 3 5 12 5 , B = - 3 11 0 6 , dan C = x 4 9 x + y .

Jika A + 2 B = 3 C T maka tentukan nilai dari y ?


Lihat Penyelesaian

F. PERKALIAN MATRIKS

Perkalian matriks A dan B ditulis A × B atau AB akan terdefinisi jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B.


Sebagai contoh :

1.

Jika diketahui matriks A = 1 3 dan B = 1 5 - 1 3 , apakah perkalian AB dan BA terdefinisi ?

Lihat Penyelesaian
2.

Jika diketahui matriks M = 3 4 1 6 dan matriks N = - 1 4 - 2 1 0 9 , apakah perkalian MN dan NM terdefinisi ?

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui tiga buah matriks, A 2 × 3 , B 3 × 4 , dan C 4 × 2 tentukan ordo dari matriks hasil perkalian di bawah ini

a. P = AB

c. R = CA

b. Q = BC

d. S = BA

Lihat Penyelesaian

Definisi perkalian matriks

Jika a ij adalah elemen matriks A, b ij elemen matriks B, dan c ij adalah elemen matriks C maka

Dan


a 11 a 1 q a p 1 a pq b 11 b 1 q b p 1 b pq = c 11 c 1 r c p 1 c pr

Dimana c ij = a i 1 . b 1 j + a i 2 . b 2 j + + a iq . b qj untuk i { 1 , 2 , , p } dan j { 1 , 2 , , q }


Sebagai contoh :

1.

1 5 3 - 1 3 6 - 1 2 0 2 3 4 5 3 4 1 4 2 - 1 3 - 2 3 - 3 9 = M tentukan m 11 + m 23 =

Lihat Penyelesaian
2.

Jika A = 2 3 1 - 4 dan B = 4 3 maka nilai A × B =

Lihat Penyelesaian
3.

Jika A = 1 2 3 4 , B = 1 5 7 - 1 2 0 , dan C = 11 12 13 , tentukan hasil dari

a. AB b. AC c. BC d. CB

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan hasil dari

a. 1 3 - 4 2 - 1 5

c. 2 3 1 - 3 1 2 3 4

b. 2 - 1 5 1 3 - 4

d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Lihat Penyelesaian

Soal variasi perkalian matriks

Sebagai contoh :

1.

Diketahui A = 2 3 1 4 , tentukan hasil dari

a. A 2

b. A 3

c. A 6

Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui A = 1 0 3 1 , tentukan hasil dari

a. A 2

b. A 3

c. A n

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui A = 2 3 4 5 dan I = 1 0 0 1 , tentukan nilai x dan y jika A 2 = xA + yI ?

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan x dan y jika 1 3 4 5 + 2 x 14 y - 21 2 = 3 1 - 1 2 3 2 - 4 1 4 2 5 3 6 ?

Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui A = 3 4 5 1 3 4 , B = - 1 5 - 2 10 - 3 15 , C = 1 2 4 - 3 , dan
D = 1 - 1 2 2 3 - 3 5 4 3 , tentukan

a. matriks M dimana M = AB + C 2 + C T

b. matriks N dimana N = BA + D 2 + D T

Lihat Penyelesaian

  1. DETERMINAN MATRIKS

Determinan matriks A 2 × 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 ditulis dengan det A atau A atau a 11 a 12 a 21 a 22 , adalah selisih antara perkalian elemen di diagonal utama dengan perkalian elemen di diagonal sekunder

Jadi a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 - a 12 a 21


Sebagai contoh :

1.

Tentukan determinan dari matriks A = 2 3 1 6 , B = 1 9 4 2 , dan C = 2 - 3 6 - 1 !/span>

Lihat Penyelesaian
2.

Jika 3 6 4 - 1 + 3 7 5 10 = a - 5 5 2 maka tentukan nilai a !

Lihat Penyelesaian
3.

Jika nilai x yang memenuhi persamaan x 4 3 x - 1 = 111 adalah x 1 dan x 2 , maka tentukan nilai dari x 1 + x 2 dan x 1 x 2 !

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui A = 5 3 3 2 , dan I = 1 0 0 1 . Jika A - xI = 9 maka tentukan nilai x !

Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui A = 5 3 6 4 , dan B = 2 3 3 6 , Tentukan

a. detA

c. det ( AB )

e. det A 2

b. det det B

d. det ( BA )

f. det kA

Lihat Penyelesaian

Untuk matriks 3 x 3 (cara Sarrus)

= ( a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 ) - ( a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 )



Untuk matriks presegi ordo n × n dengan n > 2

Jika A = a 11 a 1 n a n 1 a nn dan M ij adalah matriks minor dari A yaitu didapat dari matriks A yang sudah dihapus baris ke i kolom ke j

misalnya : A = 1 4 5 2 4 - 1 - 2 5 5 maka M 12 = 4 5 5 5

M 12 adalah minor dari matriks A baris pertama kolom kedua

Maka untuk sebarang nilai k, 1 k n

det A = i=1 n ( - 1 ) k + i . a ki . M ki atau det A = i=1 n ( - 1 ) j + k . a jk . M jk


Sebagai contoh :

6.

Tentukan determinan matriks B = 2 1 0 3 - 2 2 4 3 4

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan determinan matriks B = 1 2 3 8 9 4 7 6 5

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan determinan dari matriks A = - 3 3 8 2 4 0 7 4 5 - 2 0 4 0 - 7 1 3 !

Lihat Penyelesaian
9.

Jika nilai x yang memenuhi persamaan 1 2 0 x 2 x x x - 1 1 - x 4 = 3 2 x 1 7 x - 3 adalah x 1 dan x 2 , maka tentukan nilai dari x 1 - x 2 2 !

Lihat Penyelesaian

  1. INVERS MATRIKS

Pada sub bab invers matriks ini kita akan mempelajari invers matriks persegi terhadap operasi perkalian matriks.

Invers matriks A ditulis A - 1

sehingga A × A - 1 = A - 1 × A = I   dengan I adalah matriks identitas


Invers Matrik persegi ordo 2 × 2

Jika A = a b c d maka A - 1 = 1 det A d - b - c a

Jika determinan dari matriks A adalah 0 maka A tidak mempunyai invers, dan A disebut sebagai matriks singular .

Contoh :

  1. Diketahui A = 4 1 2 3 , maka invers dari matriks A adalah :

    A - 1 = 1 4 3 - 1 2 3 - 1 - 2 4

    = 1 12 - 2 3 - 1 - 2 4

    = 1 10 3 - 1 - 2 4        bisa ditulis A - 1 = 0,3 - 0,1 - 0,2 0,4

  1. Diketahui B = cos x - sin x sin x cos x maka invers dari matriks B   adalah :

    B - 1 = 1 cos x cos x - - sin x sin x - cos x sin x - sin x - cos x

    = 1 cos 2 x + sin 2 x - cos x sin x - sin x - cos x     identitas : cos 2 x + sin 2 x = 1  

    = - cos x sin x - sin x - cos x

  1. Diketahui matriks C = x 4 2 x - 1 adalah matriks singular (tidak punya invers), maka nilai dari x yang memenuhi adalah :

    Matriks C adalah matriks singular, maka det C = 0

    det C = 0 x 4 14 x - 1 = 0

    x x - 1 - 4 × 14 = 0

    x 2 - x - 56 = 0

    x - 8 x + 7 = 0

    x = 8 atau x = - 7


Invers matriks persegi 3 × 3

Jika A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 maka M i j adalah matriks minor dari A yaitu didapat dari matriks A yang sudah dihapus baris ke i kolom ke j.

Kofaktor dari matriks A adalah matriks C dengan elemen-elemen c i j = ( - 1 ) i + j × det M i j

Dengan c i j adalah elemen dari matriks C (kofaktor dari A )

Adjoin matriks A adalah transpose dari matriks kofaktornya

a d j   A = k o f   A T

Jadi A - 1 = 1 det A a d j o i n   A


Perhatikan contoh di bawah ini :

1. Tentukan invers dari matriks A = 2 - 1 3 6 - 2 5 4 2 - 11

Jawab:

Mencari det A dengan ekspansi baris pertama

det A = 2 - 2 5 2 - 11 - - 1 6 5 4 - 11 + 3 6 - 2 4 2

= 2 12 - 86 + 3 20

= - 2


Kofaktor matriks A adalah :

c 11 = ( - 1 ) 1 + 1 - 2 5 2 - 11 = 12 c 12 = ( - 1 ) 1 + 2 6 5 4 - 11 = 86   c 13 = ( - 1 ) 1 + 3 6 - 2 4 2 = 20

c 21 = ( - 1 ) 2 + 1 - 1 3 2 - 11 = - 5 c 22 = ( - 1 ) 2 + 2 2 3 4 - 11 = - 34   c 23 = ( - 1 ) 2 + 3 2 - 1 4 2 = - 8

c 31 = ( - 1 ) 3 + 1 - 1 3 - 2 5 = 1   c 32 = ( - 1 ) 3 + 2 2 3 6 5 = 8     c 33 = ( - 1 ) 3 + 3 2 - 1 6 - 2 = 2

C = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33

= - 2 5 2 - 11 - 6 5 4 - 11 6 - 2 4 2 - - 1 3 2 - 11 2 3 4 - 11 - 2 - 1 4 2 - 1 3 - 2 5 - 2 3 6 5 2 - 1 6 - 2

= 12 86 20 - 5 - 34 - 8 1 8 2

Matriks A d j   A = C t

= 12 - 5 1 86 - 34 8 20 - 8 2

Dan terakhir kita cari invers dari matriks A :

A - 1 = 1 det A a d j   A

= 1 - 2 12 - 5 1 86 - 34 8 20 - 8 2

= - 6 2,5 - 0,5 - 43 17 - 4 - 10 4 - 1

2. Tentukan invers dari matriks M = 3 5 5 6 - 41 6 1 6 2 !

Jawab :

det M = 3 - 41 6 6 2 - 5 6 6 1 2 + 5 6 - 41 1 6 (ekspansi baris pertama)

= 3 - 82 - 36 - 5 12 - 6 + 5 ( 36 + 41 )

= 1

Kofaktor matriks M adalah C

Integral Parsial


C = - 118 - 6 77 20 1 - 13 235 12 - 153

Matriks a d j   M = C T = - 118 20 235 - 6 1 12 77 - 13 - 153

M - 1 = 1 d e t M × a d j   M

= 1 1 - 118 20 235 - 6 1 12 77 - 13 - 153

= - 118 20 235 - 6 1 12 77 - 13 - 153


Sebagai contoh :

1.

Dari rumus invers, jika determinan matriks sama dengan 0 maka inversnya tidak terdefinisi, atau matriks tersebut tidak punya invers. Matriks yang tidak punya invers disebut matriks singular. Diantara matriks A = 3 1 2 - 2 , B = 7 11 14 22 , dan C = - 2 - 3 6 9 , tentukan mana yang merupakan matriks singular !

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui matriks A = 2 3 3 5 , dan B = 5 - 3 - 3 2 , tentukan

a. A B

b. B A

c. A - 1

d. B - 1

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan invers dari matriks-matriks di bawah ini

  1. A = 3 4 4 2

  2. B = 40 10 110 30

  3. C = 3 4 9 12

  4. M = 10 3 5 2

Lihat Penyelesaian

4.

Diketahui A = 7 4 - 2 6 , dan B = x y + z x + y z + w . Jika A = B - 1 maka tentukan nilai dari w !

Lihat Penyelesaian

5.

Diketahui P Q - 1 = 2 3 - 1 6 , dan R Q - 1 = 1 2 2 3 , maka tentukan P R - 1 !

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui matriks A = 1 2 3 2 5 4 3 7 6 dan B = - 2 - 9 7 0 3 - 2 1 1 - 1 , tentukan

  1. Matriks hasil kali A B dan B A

  2. Invers dari matriks A dan invers matriks B

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan invers dari matriks A = 2 6 7 1 3 5 5 14 4 !

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan invers dari matriks A = 8 18 - 25 - 10 - 22 31 - 2 - 6 8 !

Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui A = x x + 1 2 x 8 - x , B = 1 2 3 4 , dan C = A - B , serta x 0 . Jika A tidak mempunyai invers maka tentukan

  1. Matriks A

  2. Invers dari matriks C

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui A = 1 - 3 2 5 - 3 3 4 - 1 2 dan I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Jika A - x I adalah matriks singular, maka tentukan nilai x yang memenuhi !

Lihat Penyelesaian

  1. PERSAMAAN MATRIKS

Bentuk persamaan AX = B sama artinya dengan X = A - 1 B , lihat buktinya :  

AX = B A - 1 AX = A - 1 B     kedua ruas dikalikan A - 1 dari sebelah kiri

IX = A - 1 B   A - 1 A = I dengan I adalah matriks identitas

X = A - 1 B       IX = X perkalian dengan I tidak mengubah hasil

Bentuk persamaan XA = B sama artinya dengan X = B A - 1 , lihat buktinya :

XA = B XA A - 1 = B A - 1     kedua ruas dikalikan A - 1 dari sebelah kanan

XI = B A - 1   AA - 1 = I dengan I adalah matriks identitas

X = B A - 1       XI = X perkalian dengan I tidak mengubah hasil

contoh :

1 . Jika A = 3 2 4 3 , B = 1 - 2 6 3 . Tentukan matriks X dan Y , jika berlaku

a. AX = B       b. YA = B

jawab :

  1. AX = B       matriks A di sebelah kiri matriks X

X = A - 1 B       matriks A - 1 berada di sebelah kiri matriks B

= 3 2 4 3 - 1 1 - 2 6 3     a b c d - 1 = 1 ad - bc d - b - c a

= 1 1 3 - 2 - 4 3 1 - 2 6 3

= - 9 - 12 14 17

b. YA = B         matriks A di sebelah kanan matriks Y

Y = B A - 1       matriks A - 1 berada di sebelah kanan matriks B

= 1 - 2 6 3 3 2 4 3 - 1     a b c d - 1 = 1 ad - bc d - b - c a

= 1 - 2 6 3 1 1 3 - 2 - 4 3  

= 11 - 8 6 - 3

2. Diketahui matriks A = - 2 4 1 3 , B = 4 - 1 - 3 5 , dan C = 4 50 - 2 60 . Tentukan matriks M yang memenuhi persamaan AMB = C !

Jawab :

AMB = C            A di sebelah kiri dan B di sebelah kanan matriks M

MB = A - 1 C

M = A - 1 C B - 1          A - 1 di sebelah kiri dan B - 1 di sebelah kanan matriks C

= - 1 10 3 - 4 - 1 - 2 A - 1 4 50 - 2 60 1 17 5 1 3 4 B - 1

= - 1 170 3 - 4 - 1 - 2 4 50 - 2 60 kalikan 5 1 3 4

= - 1 170 20 - 90 0 - 170 5 1 3 4

= - 1 170 - 170 - 340 - 510 - 680

= 1 2 3 4

Keterangan : a b c d - 1 = 1 ad - bc d - b - c a

A = - 2 4 1 3 A - 1 = 1 - 2 3 - 4 1 3 - 4 - 1 - 2 = - 1 10 3 - 4 - 1 - 2

B = 4 - 1 - 3 5 B - 1 = 1 4 5 - - 1 - 3 5 - - 1 - - 3 4 = 1 17 5 1 3 4

3. Jika 4 - 1 5 12 M = 11 14 27 44 maka tentukan hasil dari M 1 - 3 !

Jawab :

Langkah pertama kita cari matriks M terlebih dahulu :

4 - 1 5 12 M = 11 14 27 44 M = 4 - 1 5 12 - 1 11 14 27 44

= 1 53 12 1 - 5 4 11 14 27 44

= 1 53 159 212 53 106

= 3 4 1 2

Kemudian kita cari hasil dari M 1 - 3

M 1 - 3 = 3 4 1 2 1 - 3

= - 9 - 5

Keterangan : a b c d - 1 = 1 ad - bc d - b - c a

4 - 1 5 12 - 1 = 1 4 12 - - 1 5 12 - - 1 - 5 4 = 1 53 12 1 - 5 4


Sebagai contoh :

1.

Jika A = 1 2 3 8 dan B = 4 - 2 8 - 10 . Tentukan matriks M dan N , jika berlaku

  1. AM = B

  2. NA = B

Lihat Penyelesaian

2.

Jika A = 2 1 5 4 , B = 4 5 - 2 - 3 dan C = 2 7 2 16 maka tentukan matriks X dan Y untuk persamaan-persamaan di bawah ini

  1. AXB + C = 0

  2. ABY = C

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai dari x + y untuk setiap persamaan di bawah ini

  1. 4 - 3 8 9 x y = 31 47

  2. 3 13 7 17 x y = 5 25

Lihat Penyelesaian

4.

Jika 2 7 - 3 1 M = 32 41 - 2 - 4 maka tentukan hasil dari M 3 - 2 !

Lihat Penyelesaian

5.

Jika N 6 7 - 5 - 4 = - 9 - 5 - 5 7 maka tentukan hasil dari N - 3 1 !

Lihat Penyelesaian

6.

Jika a a + x b b + y - 3 11 4 - 7 = 19 21 20 23 - 2 3 19 3 18 maka tentukan nilai x + y !

Lihat Penyelesaian

7.

Jika 3 7 4 1 a b a - x b - y + 1 - 2 2 0 = 7 5 - 4 2 1 maka tentukan nilai x + y ?

Lihat Penyelesaian

8.

Jika 4 1 3 2 1 5 a b c d = 5 0 p q - 13 - 19 maka tentukan nilai dari p + q !

Lihat Penyelesaian
9.

Jika a b c d m - 3 - 4 n 2 1 = - 2 1 - 7 6 - 3 - 19 maka tentukan nilai dari m + n !

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui A = 4 3 7 3 5 - 1 9 12 4 , dan B = 21 19 6 - 5 - 6 - 10 8 5 - 14 . Tentukan

  1. invers dari matriks A

  2. matriks M jika AM = B

Lihat Penyelesaian

J. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR

Penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan matriks bisa menggunakan cara determinan atau dengan cara invers

Persamaan linear ax+by=pcx+dy=q identik dengan kesamaan abcdxy=pq

Dengan metode determinan akan diperoleh x = D x D dan y = D y D dimana

D = a b c d a b c d x y = p q

D x = p q b d a b c d x y = p q kolom a c diganti p q

D y = a c p q a b c d x y = p q kolom b d diganti p q

Dengan metode invers cukup memindahkan matriks a b c d ke sebelah kanan p q sehingga
a b c d x y = p q x y = a b c d - 1 p q


Sebagai contoh :

1.

Tentukan penyelesaian dari 3 x - y = 14 2 x + 5 y = 15

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan penyelesaian dari 3 x + 2 y = 10 5 y - 3 y = 23 dengan metode determinan dan metode invers ?

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan penyelesaian dari persamaan 33 x + 4 y - 2 z = 35 5 x + 7 y + 5 z = 34 3 x + 3 y + 2 z = 15 dengan metode determinan dan metode invers ?

Lihat Penyelesaian

K. OPERASI BARIS dan KOLOM ELEMENTER (OBE & OKE)

Operasi baris elementer (OBE) adalah operasi yang dilakukan terhadap semua elemen pada sebuah baris.

Operasi kolom elementer (OKE) adalah operasi yang dilakukan terhadap semua elemen pada sebuah baris.

Ada dua operasi dasar yaitu

1. penjumlahan atau pengurangan sebuah baris dengan baris lain

penjumlahan atau pengurangan sebuah kolom dengan kolom lain

2. Perkalian baris dengan bilangan real

Perkalian kolom dengan bilangan real


Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari matriks 1 3 - 2 4 oleh operasi

a. baris kedua dikurangi baris pertama

b. baris kedua dikalikan 4

c. baris pertama ditambah dua kali baris kedua

d. kolom pertama ditambah kolom kedua

e. kolom pertama dikalikan - 3

f. kolom kedua dikurangi lima kali kolom pertama

Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui A = 4 - 3 6 1 . Tentukan determinan dari matriks

a. A

b. B jika matriks B didapat dari A R 1 + R 2 B

c. C jika matriks C didapat dari A R 1 - 5 R 2 C

d. D jika matriks D didapat dari A C 1 - C 2 D

e. E jika matriks E didapat dari A C 1 + 10 C 2 E

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui A = 7 6 - 3 4 . Tentukan determinan dari matriks

a. A

b. B jika matriks B didapat dari A 3 R 2 B

c. C jika matriks C didapat dari A - 2 R 1 C

d. D jika matriks D didapat dari A 10 C 2 D

e. E jika matriks E didapat dari A - 7 C 1 E

Lihat Penyelesaian


1.

OBE atau OKE dengan operasi penjumlahan atau pengurangan baris/kolom dengan baris/kolom lain atau kelipatannya tidak mengubah nilai determinan

2.

Jika sebuah baris atau kolom dikalikan bilangan real a, maka nilai determinannya juga ikut dikalikan a.

3.

Akibat dari pernyataan nomor 2, jika sebuah matriks persegi ordo n × n dikalikan dengan bilangan real a, maka determinan matriks juga dikalikan a n


Sebagai contoh :

1.

Jika diketahui 1 4 5 a b c 10 20 30 = 50 , maka tentukan nilai dari

a. 1 4 5 a b c 11 24 35

b. 1 2 5 a b - 2 a c 10 0 30

c. 1 + a 4 + a 5 + a a b c 10 - 5 a 20 - 5 a 30 - 5 a

Lihat Penyelesaian
2.

Jika diketahui A = p q r s , dan det A = 100 , tentukan nilai dari


a. det 3 A

b. p q 2 r 2 s

c. p 10 q r 10 s

Lihat Penyelesaian
3.

Telah dihitung pada sub bab invers bahwa determinan dari matriks A = 2 - 1 3 6 - 2 5 4 2 - 11 adalah -2, hitunglah determinan A dengan dibantu OBE ?

Lihat Penyelesaian


Mencari invers dengan OBE

Dari A I a b c d 1 0 0 1 dengan mengalikan masing-masing A - 1 didapat I A - 1 1 0 0 1 a b c d - 1

Jadi dengan proses OBE akan mengubah A I a b c d 1 0 0 1 menjadi I A - 1 1 0 0 1 a b c d - 1


Sebagai contoh :

1.

Tentukan invers dari matriks

a. A = 1 4 5 21

b. B = 3 2 6 5

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan invers dari matriks A = 2 - 1 3 6 - 2 5 4 2 - 11 ?

Lihat Penyelesaian


Menyelesaikan persamaan linier dengan OBE

Bentuk a b c d x y = p q diubah menjadi 1 0 0 1 x y = m n sehingga penyelesaiannya adalah
x = m dan y = n


Sebagai contoh :

1.

Tentukan penyelesaian dari persamaan x + 2 y = 35 3 x + 7 y = 117 ?

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan penyelesaian dari persamaan 4 x - 5 y = 13 3 x + 7 y = - 1 ?

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan penyelesaian dari persamaan 9 x + 4 y + 11 z = 76 2 x + y + 3 z = 20 6 x + 5 y + 18 z = 111 ?

Lihat Penyelesaian

  1. SIFAT-SIFAT DETERMINAN MATRIKS

Sifat-sifat determinan matriks persegi :

  1. Jika matriks A' adalah matriks yang di hasilkan dari matriks A dengan mengalikan sebuah baris atau kolom tunggal dengan sebuah konstanta k, maka detA'=k×detA

    Akibatnya :

    untuk sembarang matrik persegi An×n, dengan A'=kA maka detA'=kndetA


  1. Operasi penjumlahan atau pengurangan sebuah baris terhadap baris lain atau sebuah kolom terhadap kolom yang lain tidak mengubah nilai determinan.


  2. Jika A adalah sembarang matriks persegi yang memuat sebuah baris atau sebuah kolom yang semua elemennya 0, maka detA=0

    Akibatnya : untuk sembarang matriks persegi A yang memuat sebuah baris yang elemen-elemennya merupakan kelipatan baris yang lain, maka detA=0

    untuk sembarang matriks persegi A yang memuat sebuah kolom yang elemen-elemennya merupakan kelipatan kolom yang lain, maka detA=0


  1. Jika A adalah matriks persegi dan merupakan matriks segitiga, maka determinan dari matriks A adalah perkalian dari diagonalnya.


  2. Jika A adalah matriks persegi dan A' adalah matriks yang dihasilkan dari dua baris yang dipertukarkan atau dua kolom yang dipertukarkan dari A, maka detA'=-detA


  3. Jika A adalah matriks persegi dan AT adalah transpose dari matriks A, maka detA=detAT


  4. Jika A dan B adalah matris persegi, maka detAB=detA×detB


  5. Jika A adalah matriks persegi dan A-1 adalah invers dari matriks A, maka detA-1=1detA


  1. Jika matriks A' adalah matriks yang di hasilkan dari matriks A dengan mengalikan sebuah baris atau kolom tunggal dengan sebuah konstanta k, maka detA'=k×detA

    Contoh :

    1. 2 4 1 10 = 16 baris pertama dikalikan 3 maka determinannya juga dikalikan 3

      612110=316=48 sebab 612110=3(2)3(4)110

    1. 1 - 1 5 2 3 5 8 5 6 = - 81 kolom pertama dikalikan 10 maka determinannya juga dikalikan 10

      10-1520358056=10-81=-810

      Sebab 10 - 1 5 20 3 5 80 5 6 = 10 1 - 1 5 10 2 3 5 10 8 5 6

    1. 3 2 7 a b c x y z = 100 baris ketiga dikalikan 2 maka determinannya juga dikalikan 2

      327abc2x2y2z=2100=200

      Sebab 3 2 7 a b c 2 x 2 y 2 z = 3 2 7 a b c 2 x 2 y 2 z

    Akibatnya : untuk sembarang matrik persegi An×n, dengan A'=kA maka detA'=kndetA

    Contoh :

    d. A=2314 , dan misalkan A'=3A=69312

    det A = 2 4 - 3 1 = 5

    det A' = 6 12 - 9 3 = 45

    Maka detA'=32detA

    Karena matriks A berordo 2 × 2 maka pangkat dari 3 adalah 2

    e. Diketahui A=12-7abcpqr dan A'=10A=1020-7010a10b10c10p10q10r.

    Jika detA=50 maka detA'=103×50=50000

    Karena matriks A berordo 3 × 3 maka pangkat dari 10 adalah 3

  1. Operasi penjumlahan atau pengurangan sebuah baris terhadap baris lain atau kolom terhadap kolom yang lain tidak mengubah nilai determinan.

    Contoh :

    1. 3 3 2 1 = - 3

      3354=-3 sebab 3321 R2+R1 3354

    1. 2 3 4 - 1 5 10 2 3 6 = 26

      -13-2-650-130=26 Sebab 234-1510236 C1-C2C3-2C2 -13-2-650-130

  1. Jika A adalah sembarang matriks persegi yang memuat sebuah baris atau sebuah kolom yang semua elemennya 0, maka detA=0

    Contoh :

    a. 2500=0 sebab baris kedua semua elemennya 0

    b. 105205606=0 sebab kolom kedua semua elemennya 0

    c. 00-35000-426-4731125=0 sebab baris pertama semua elemennya 0

    Akibatnya : untuk sembarang matriks persegi A yang memuat sebuah baris yang elemen-elemennya merupakan kelipatan baris yang lain, maka detA=0

    untuk sembarang matriks persegi A yang memuat sebuah kolom yang elemen-elemennya merupakan kelipatan kolom yang lain, maka detA=0

    contoh :

    d. -2417834-8-2=0     sebab R3=2R1

    dengan operasi baris elementer akan diperoleh matrik yang memuat sebuah baris yang semua elemennya 0

    -2417834-8-2 R3+2R1 -241783000=0

  1. Jika A adalah matriks persegi dan merupakan matriks segitiga, maka determinan dari matriks A adalah perkalian dari diagonalnya :

    Contoh :

    a. 2401=2×1=2 matriks segitiga atas

    b. 10072011233=1×2×3=6 matriks segitiga bawah

  1. Jika A adalah matriks persegi dan A' adalah matriks yang dihasilkan dari dua baris yang dipertukarkan atau dua kolom yang dipertukarkan dari A, maka detA'=-detA

    Contoh :

    a. Jika 4-215=22 maka 154-2=-22

    Baris pertama ditukar dengan baris kedua

    b. Jika 236pqrabc=100 maka 236abcpqr=-100

    Baris kedua ditukar dengan baris ketiga

  1. Jika A adalah matriks persegi dan AT adalah transpose dari matriks A, maka detA=detAT

    Contoh :

    a. misal A=2615 maka AT=2165. Dan detA=detAT=4

    b. Misal A=12-7abcpqr dengan detA=100

    maka AT=12p2bq-7cr dan detAT=100

  1. Jika A dan B adalah matris persegi, maka detAB=detA×detB

    Contoh :

    Diketahui A=14-32 , dan B=3451

    Maka AB=14-323451=2381-10

    det A = 1 4 - 3 2 = 1 2 - 4 - 3 = 14

    det B = 3 4 5 1 = 3 1 - 4 5 = - 17

    det AB = 23 8 1 - 10 = 23 - 10 - 8 1 = - 238

    det A × det B = 14 - 17

    = - 238

    = det AB

  1. Jika A adalah matriks persegi dan A-1 adalah invers dari matriks A, maka detA-1=1detA

    Contoh :

    Diketahui A=5142 maka A-1=162-1-45=13-16-2356

    det A = 6 dan detA-1=16



Sebagai contoh :

1.

Diketahui M=241-3, maka tentukan

a. Determinan dari matriks 3M

c. Determinan dari matriks M-1

b. Determinan dari matriks MT

d. determinan dari matriks M3

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui A=3-171 maka tentukan nilai dari

a. detA

c. detA3+detA2

b. 3detA+det3A

d. 100detA-1+detAT

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui A=3284-71659, tentukan determinan dari matriks

a. A

b. AT

c. A-1

d. A3

Lihat Penyelesaian

4.

Diketahui B=3254-24175 maka tentukan nilai dari

a. detB

c. detB2+detB4

b. det2B+2detB

d. detB-1+detBT

Lihat Penyelesaian

5.

Diketahui A=16-34 , B=2415, dan C=1384.

  1. Determinan dari matriks A, B, dan C

  2. Jika berlaku AMB=C maka tentukan determinan dari matriks M ?

  3. Jika berlaku ACN=B4 maka tentukan deteriman dari matriks N ?

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui matriks A=1242593711 dan B=26134-24-2-5-8 tentukan

  1. Determinan dari matriks A dan B

  2. Determinan matriks X jika berlaku AX=B2

  3. Determinan matriks Y jika berlaku YB=A3

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan determinan-determinan matriks di bawah ini

a. A=171306-430025

b. B=13470006413

c. C=0140 24817101902703312212223

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan determinan-determinan matriks di bawah ini

a. A=5912101824-7813

b. B=24-2-8183231560

c. C=4153 272812162-393918-3724

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan deteriminan-determinan matriks di bawah ini dengan bantuan operasi baris atau kolom elementer

a. A=171317-7-4352852

b. B=-33101127-10-9192847

c. C=1 141 248171320217-4511211837

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan determinan dari matriks-matriks

a. A=22+23-12+3+722+23+22+3-2

b. B=3-23-123-12+311-72-32-33+11-23

Lihat Penyelesaian
11.

Diketahui A=xyzabc369 dengan detA=25, maka tentukan nilai dari

  1. 2a2b2cxyz369

  2. 5xyz-y5abc-b521

Lihat Penyelesaian
12.

Nilai x yang memenuhi persamaan x+22x-13x+5x2+2x+46x-26x+113x+16x+119x+36=250 adalah x1 dan x2 dengan x1>x2, maka tentukan nilai dari 121x1-489x2 !

Lihat Penyelesaian
13.

Jika x2+2x-3x2+4x-52x2+4x+32x2+8x+5=3x-12x-5x+26x-2x+5x-29x-33x+112x maka tentukan nilai x yang memenuhi !

Lihat Penyelesaian
14.

Tunjukkan bahwa

  1. 111abca2b2c2=b-ac-ac-b

  2. a-bb-cc-ab-cc-aa-bc-aa-bb-c=0

  3. a2+bcb2+cac2+ababc111=-2-2-2abca2b2c2

  4. k2k+22k+42k+22k+42k+62k+42k+62k+82=-512

Lihat Penyelesaian
15.

Jika α, β, dan γ adalah akar-akar dari persamaan x3+x2+2x-100=0 maka tentukan nilai α + 1 β γ β γ + 1 α γ α β + 1 !

Lihat Penyelesaian