1. SIFAT-SIFAT DETERMINAN MATRIKS

Sifat-sifat determinan matriks persegi :

  1. Jika matriks A' adalah matriks yang di hasilkan dari matriks A dengan mengalikan sebuah baris atau kolom tunggal dengan sebuah konstanta k, maka detA'=k×detA

    Akibatnya :

    untuk sembarang matrik persegi An×n, dengan A'=kA maka detA'=kndetA


  1. Operasi penjumlahan atau pengurangan sebuah baris terhadap baris lain atau sebuah kolom terhadap kolom yang lain tidak mengubah nilai determinan.


  2. Jika A adalah sembarang matriks persegi yang memuat sebuah baris atau sebuah kolom yang semua elemennya 0, maka detA=0

    Akibatnya : untuk sembarang matriks persegi A yang memuat sebuah baris yang elemen-elemennya merupakan kelipatan baris yang lain, maka detA=0

    untuk sembarang matriks persegi A yang memuat sebuah kolom yang elemen-elemennya merupakan kelipatan kolom yang lain, maka detA=0


  1. Jika A adalah matriks persegi dan merupakan matriks segitiga, maka determinan dari matriks A adalah perkalian dari diagonalnya.


  2. Jika A adalah matriks persegi dan A' adalah matriks yang dihasilkan dari dua baris yang dipertukarkan atau dua kolom yang dipertukarkan dari A, maka detA'=-detA


  3. Jika A adalah matriks persegi dan AT adalah transpose dari matriks A, maka detA=detAT


  4. Jika A dan B adalah matris persegi, maka detAB=detA×detB


  5. Jika A adalah matriks persegi dan A-1 adalah invers dari matriks A, maka detA-1=1detA


  1. Jika matriks A' adalah matriks yang di hasilkan dari matriks A dengan mengalikan sebuah baris atau kolom tunggal dengan sebuah konstanta k, maka detA'=k×detA

    Contoh :

    1. 2 4 1 10 = 16 baris pertama dikalikan 3 maka determinannya juga dikalikan 3

      612110=316=48 sebab 612110=3(2)3(4)110

    1. 1 - 1 5 2 3 5 8 5 6 = - 81 kolom pertama dikalikan 10 maka determinannya juga dikalikan 10

      10-1520358056=10-81=-810

      Sebab 10 - 1 5 20 3 5 80 5 6 = 10 1 - 1 5 10 2 3 5 10 8 5 6

    1. 3 2 7 a b c x y z = 100 baris ketiga dikalikan 2 maka determinannya juga dikalikan 2

      327abc2x2y2z=2100=200

      Sebab 3 2 7 a b c 2 x 2 y 2 z = 3 2 7 a b c 2 x 2 y 2 z

    Akibatnya : untuk sembarang matrik persegi An×n, dengan A'=kA maka detA'=kndetA

    Contoh :

    d. A=2314 , dan misalkan A'=3A=69312

    det A = 2 4 - 3 1 = 5

    det A' = 6 12 - 9 3 = 45

    Maka detA'=32detA

    Karena matriks A berordo 2 × 2 maka pangkat dari 3 adalah 2

    e. Diketahui A=12-7abcpqr dan A'=10A=1020-7010a10b10c10p10q10r.

    Jika detA=50 maka detA'=103×50=50000

    Karena matriks A berordo 3 × 3 maka pangkat dari 10 adalah 3

  1. Operasi penjumlahan atau pengurangan sebuah baris terhadap baris lain atau kolom terhadap kolom yang lain tidak mengubah nilai determinan.

    Contoh :

    1. 3 3 2 1 = - 3

      3354=-3 sebab 3321 R2+R1 3354

    1. 2 3 4 - 1 5 10 2 3 6 = 26

      -13-2-650-130=26 Sebab 234-1510236 C1-C2C3-2C2 -13-2-650-130

  1. Jika A adalah sembarang matriks persegi yang memuat sebuah baris atau sebuah kolom yang semua elemennya 0, maka detA=0

    Contoh :

    a. 2500=0 sebab baris kedua semua elemennya 0

    b. 105205606=0 sebab kolom kedua semua elemennya 0

    c. 00-35000-426-4731125=0 sebab baris pertama semua elemennya 0

    Akibatnya : untuk sembarang matriks persegi A yang memuat sebuah baris yang elemen-elemennya merupakan kelipatan baris yang lain, maka detA=0

    untuk sembarang matriks persegi A yang memuat sebuah kolom yang elemen-elemennya merupakan kelipatan kolom yang lain, maka detA=0

    contoh :

    d. -2417834-8-2=0     sebab R3=2R1

    dengan operasi baris elementer akan diperoleh matrik yang memuat sebuah baris yang semua elemennya 0

    -2417834-8-2 R3+2R1 -241783000=0

  1. Jika A adalah matriks persegi dan merupakan matriks segitiga, maka determinan dari matriks A adalah perkalian dari diagonalnya :

    Contoh :

    a. 2401=2×1=2 matriks segitiga atas

    b. 10072011233=1×2×3=6 matriks segitiga bawah

  1. Jika A adalah matriks persegi dan A' adalah matriks yang dihasilkan dari dua baris yang dipertukarkan atau dua kolom yang dipertukarkan dari A, maka detA'=-detA

    Contoh :

    a. Jika 4-215=22 maka 154-2=-22

    Baris pertama ditukar dengan baris kedua

    b. Jika 236pqrabc=100 maka 236abcpqr=-100

    Baris kedua ditukar dengan baris ketiga

  1. Jika A adalah matriks persegi dan AT adalah transpose dari matriks A, maka detA=detAT

    Contoh :

    a. misal A=2615 maka AT=2165. Dan detA=detAT=4

    b. Misal A=12-7abcpqr dengan detA=100

    maka AT=12p2bq-7cr dan detAT=100

  1. Jika A dan B adalah matris persegi, maka detAB=detA×detB

    Contoh :

    Diketahui A=14-32 , dan B=3451

    Maka AB=14-323451=2381-10

    det A = 1 4 - 3 2 = 1 2 - 4 - 3 = 14

    det B = 3 4 5 1 = 3 1 - 4 5 = - 17

    det AB = 23 8 1 - 10 = 23 - 10 - 8 1 = - 238

    det A × det B = 14 - 17

    = - 238

    = det AB

  1. Jika A adalah matriks persegi dan A-1 adalah invers dari matriks A, maka detA-1=1detA

    Contoh :

    Diketahui A=5142 maka A-1=162-1-45=13-16-2356

    det A = 6 dan detA-1=16



Sebagai contoh :

1.

Diketahui M=241-3, maka tentukan

a. Determinan dari matriks 3M

c. Determinan dari matriks M-1

b. Determinan dari matriks MT

d. determinan dari matriks M3

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui A=3-171 maka tentukan nilai dari

a. detA

c. detA3+detA2

b. 3detA+det3A

d. 100detA-1+detAT

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui A=3284-71659, tentukan determinan dari matriks

a. A

b. AT

c. A-1

d. A3

Lihat Penyelesaian

4.

Diketahui B=3254-24175 maka tentukan nilai dari

a. detB

c. detB2+detB4

b. det2B+2detB

d. detB-1+detBT

Lihat Penyelesaian

5.

Diketahui A=16-34 , B=2415, dan C=1384.

  1. Determinan dari matriks A, B, dan C

  2. Jika berlaku AMB=C maka tentukan determinan dari matriks M ?

  3. Jika berlaku ACN=B4 maka tentukan deteriman dari matriks N ?

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui matriks A=1242593711 dan B=26134-24-2-5-8 tentukan

  1. Determinan dari matriks A dan B

  2. Determinan matriks X jika berlaku AX=B2

  3. Determinan matriks Y jika berlaku YB=A3

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan determinan-determinan matriks di bawah ini

a. A=171306-430025

b. B=13470006413

c. C=0140 24817101902703312212223

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan determinan-determinan matriks di bawah ini

a. A=5912101824-7813

b. B=24-2-8183231560

c. C=4153 272812162-393918-3724

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan deteriminan-determinan matriks di bawah ini dengan bantuan operasi baris atau kolom elementer

a. A=171317-7-4352852

b. B=-33101127-10-9192847

c. C=1 141 248171320217-4511211837

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan determinan dari matriks-matriks

a. A=22+23-12+3+722+23+22+3-2

b. B=3-23-123-12+311-72-32-33+11-23

Lihat Penyelesaian
11.

Diketahui A=xyzabc369 dengan detA=25, maka tentukan nilai dari

  1. 2a2b2cxyz369

  2. 5xyz-y5abc-b521

Lihat Penyelesaian
12.

Nilai x yang memenuhi persamaan x+22x-13x+5x2+2x+46x-26x+113x+16x+119x+36=250 adalah x1 dan x2 dengan x1>x2, maka tentukan nilai dari 121x1-489x2 !

Lihat Penyelesaian
13.

Jika x2+2x-3x2+4x-52x2+4x+32x2+8x+5=3x-12x-5x+26x-2x+5x-29x-33x+112x maka tentukan nilai x yang memenuhi !

Lihat Penyelesaian
14.

Tunjukkan bahwa

  1. 111abca2b2c2=b-ac-ac-b

  2. a-bb-cc-ab-cc-aa-bc-aa-bb-c=0

  3. a2+bcb2+cac2+ababc111=-2-2-2abca2b2c2

  4. k2k+22k+42k+22k+42k+62k+42k+62k+82=-512

Lihat Penyelesaian
15.

Jika α, β, dan γ adalah akar-akar dari persamaan x3+x2+2x-100=0 maka tentukan nilai α + 1 β γ β γ + 1 α γ α β + 1 !

Lihat Penyelesaian