1. PERSAMAAN MATRIKS

Bentuk persamaan AX = B sama artinya dengan X = A - 1 B , lihat buktinya :  

AX = B A - 1 AX = A - 1 B     kedua ruas dikalikan A - 1 dari sebelah kiri

IX = A - 1 B   A - 1 A = I dengan I adalah matriks identitas

X = A - 1 B       IX = X perkalian dengan I tidak mengubah hasil

Bentuk persamaan XA = B sama artinya dengan X = B A - 1 , lihat buktinya :

XA = B XA A - 1 = B A - 1     kedua ruas dikalikan A - 1 dari sebelah kanan

XI = B A - 1   AA - 1 = I dengan I adalah matriks identitas

X = B A - 1       XI = X perkalian dengan I tidak mengubah hasil

contoh :

1 . Jika A = 3 2 4 3 , B = 1 - 2 6 3 . Tentukan matriks X dan Y , jika berlaku

a. AX = B       b. YA = B

jawab :

  1. AX = B       matriks A di sebelah kiri matriks X

X = A - 1 B       matriks A - 1 berada di sebelah kiri matriks B

= 3 2 4 3 - 1 1 - 2 6 3     a b c d - 1 = 1 ad - bc d - b - c a

= 1 1 3 - 2 - 4 3 1 - 2 6 3

= - 9 - 12 14 17

b. YA = B         matriks A di sebelah kanan matriks Y

Y = B A - 1       matriks A - 1 berada di sebelah kanan matriks B

= 1 - 2 6 3 3 2 4 3 - 1     a b c d - 1 = 1 ad - bc d - b - c a

= 1 - 2 6 3 1 1 3 - 2 - 4 3  

= 11 - 8 6 - 3

2. Diketahui matriks A = - 2 4 1 3 , B = 4 - 1 - 3 5 , dan C = 4 50 - 2 60 . Tentukan matriks M yang memenuhi persamaan AMB = C !

Jawab :

AMB = C            A di sebelah kiri dan B di sebelah kanan matriks M

MB = A - 1 C

M = A - 1 C B - 1          A - 1 di sebelah kiri dan B - 1 di sebelah kanan matriks C

= - 1 10 3 - 4 - 1 - 2 A - 1 4 50 - 2 60 1 17 5 1 3 4 B - 1

= - 1 170 3 - 4 - 1 - 2 4 50 - 2 60 kalikan 5 1 3 4

= - 1 170 20 - 90 0 - 170 5 1 3 4

= - 1 170 - 170 - 340 - 510 - 680

= 1 2 3 4

Keterangan : a b c d - 1 = 1 ad - bc d - b - c a

A = - 2 4 1 3 A - 1 = 1 - 2 3 - 4 1 3 - 4 - 1 - 2 = - 1 10 3 - 4 - 1 - 2

B = 4 - 1 - 3 5 B - 1 = 1 4 5 - - 1 - 3 5 - - 1 - - 3 4 = 1 17 5 1 3 4

3. Jika 4 - 1 5 12 M = 11 14 27 44 maka tentukan hasil dari M 1 - 3 !

Jawab :

Langkah pertama kita cari matriks M terlebih dahulu :

4 - 1 5 12 M = 11 14 27 44 M = 4 - 1 5 12 - 1 11 14 27 44

= 1 53 12 1 - 5 4 11 14 27 44

= 1 53 159 212 53 106

= 3 4 1 2

Kemudian kita cari hasil dari M 1 - 3

M 1 - 3 = 3 4 1 2 1 - 3

= - 9 - 5

Keterangan : a b c d - 1 = 1 ad - bc d - b - c a

4 - 1 5 12 - 1 = 1 4 12 - - 1 5 12 - - 1 - 5 4 = 1 53 12 1 - 5 4


Sebagai contoh :

1.

Jika A = 1 2 3 8 dan B = 4 - 2 8 - 10 . Tentukan matriks M dan N , jika berlaku

  1. AM = B

  2. NA = B

Lihat Penyelesaian

2.

Jika A = 2 1 5 4 , B = 4 5 - 2 - 3 dan C = 2 7 2 16 maka tentukan matriks X dan Y untuk persamaan-persamaan di bawah ini

  1. AXB + C = 0

  2. ABY = C

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai dari x + y untuk setiap persamaan di bawah ini

  1. 4 - 3 8 9 x y = 31 47

  2. 3 13 7 17 x y = 5 25

Lihat Penyelesaian

4.

Jika 2 7 - 3 1 M = 32 41 - 2 - 4 maka tentukan hasil dari M 3 - 2 !

Lihat Penyelesaian

5.

Jika N 6 7 - 5 - 4 = - 9 - 5 - 5 7 maka tentukan hasil dari N - 3 1 !

Lihat Penyelesaian

6.

Jika a a + x b b + y - 3 11 4 - 7 = 19 21 20 23 - 2 3 19 3 18 maka tentukan nilai x + y !

Lihat Penyelesaian

7.

Jika 3 7 4 1 a b a - x b - y + 1 - 2 2 0 = 7 5 - 4 2 1 maka tentukan nilai x + y ?

Lihat Penyelesaian

8.

Jika 4 1 3 2 1 5 a b c d = 5 0 p q - 13 - 19 maka tentukan nilai dari p + q !

Lihat Penyelesaian
9.

Jika a b c d m - 3 - 4 n 2 1 = - 2 1 - 7 6 - 3 - 19 maka tentukan nilai dari m + n !

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui A = 4 3 7 3 5 - 1 9 12 4 , dan B = 21 19 6 - 5 - 6 - 10 8 5 - 14 . Tentukan

  1. invers dari matriks A

  2. matriks M jika AM = B

Lihat Penyelesaian