1. INVERS MATRIKS

Pada sub bab invers matriks ini kita akan mempelajari invers matriks persegi terhadap operasi perkalian matriks.

Invers matriks A ditulis A - 1

sehingga A × A - 1 = A - 1 × A = I   dengan I adalah matriks identitas


Invers Matrik persegi ordo 2 × 2

Jika A = a b c d maka A - 1 = 1 det A d - b - c a

Jika determinan dari matriks A adalah 0 maka A tidak mempunyai invers, dan A disebut sebagai matriks singular .

Contoh :

  1. Diketahui A = 4 1 2 3 , maka invers dari matriks A adalah :

    A - 1 = 1 4 3 - 1 2 3 - 1 - 2 4

    = 1 12 - 2 3 - 1 - 2 4

    = 1 10 3 - 1 - 2 4        bisa ditulis A - 1 = 0,3 - 0,1 - 0,2 0,4

  1. Diketahui B = cos x - sin x sin x cos x maka invers dari matriks B   adalah :

    B - 1 = 1 cos x cos x - - sin x sin x - cos x sin x - sin x - cos x

    = 1 cos 2 x + sin 2 x - cos x sin x - sin x - cos x     identitas : cos 2 x + sin 2 x = 1  

    = - cos x sin x - sin x - cos x

  1. Diketahui matriks C = x 4 2 x - 1 adalah matriks singular (tidak punya invers), maka nilai dari x yang memenuhi adalah :

    Matriks C adalah matriks singular, maka det C = 0

    det C = 0 x 4 14 x - 1 = 0

    x x - 1 - 4 × 14 = 0

    x 2 - x - 56 = 0

    x - 8 x + 7 = 0

    x = 8 atau x = - 7


Invers matriks persegi 3 × 3

Jika A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 maka M i j adalah matriks minor dari A yaitu didapat dari matriks A yang sudah dihapus baris ke i kolom ke j.

Kofaktor dari matriks A adalah matriks C dengan elemen-elemen c i j = ( - 1 ) i + j × det M i j

Dengan c i j adalah elemen dari matriks C (kofaktor dari A )

Adjoin matriks A adalah transpose dari matriks kofaktornya

a d j   A = k o f   A T

Jadi A - 1 = 1 det A a d j o i n   A


Perhatikan contoh di bawah ini :

1. Tentukan invers dari matriks A = 2 - 1 3 6 - 2 5 4 2 - 11

Jawab:

Mencari det A dengan ekspansi baris pertama

det A = 2 - 2 5 2 - 11 - - 1 6 5 4 - 11 + 3 6 - 2 4 2

= 2 12 - 86 + 3 20

= - 2


Kofaktor matriks A adalah :

c 11 = ( - 1 ) 1 + 1 - 2 5 2 - 11 = 12 c 12 = ( - 1 ) 1 + 2 6 5 4 - 11 = 86   c 13 = ( - 1 ) 1 + 3 6 - 2 4 2 = 20

c 21 = ( - 1 ) 2 + 1 - 1 3 2 - 11 = - 5 c 22 = ( - 1 ) 2 + 2 2 3 4 - 11 = - 34   c 23 = ( - 1 ) 2 + 3 2 - 1 4 2 = - 8

c 31 = ( - 1 ) 3 + 1 - 1 3 - 2 5 = 1   c 32 = ( - 1 ) 3 + 2 2 3 6 5 = 8     c 33 = ( - 1 ) 3 + 3 2 - 1 6 - 2 = 2

C = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33

= - 2 5 2 - 11 - 6 5 4 - 11 6 - 2 4 2 - - 1 3 2 - 11 2 3 4 - 11 - 2 - 1 4 2 - 1 3 - 2 5 - 2 3 6 5 2 - 1 6 - 2

= 12 86 20 - 5 - 34 - 8 1 8 2

Matriks A d j   A = C t

= 12 - 5 1 86 - 34 8 20 - 8 2

Dan terakhir kita cari invers dari matriks A :

A - 1 = 1 det A a d j   A

= 1 - 2 12 - 5 1 86 - 34 8 20 - 8 2

= - 6 2,5 - 0,5 - 43 17 - 4 - 10 4 - 1

2. Tentukan invers dari matriks M = 3 5 5 6 - 41 6 1 6 2 !

Jawab :

det M = 3 - 41 6 6 2 - 5 6 6 1 2 + 5 6 - 41 1 6 (ekspansi baris pertama)

= 3 - 82 - 36 - 5 12 - 6 + 5 ( 36 + 41 )

= 1

Kofaktor matriks M adalah C

Integral Parsial


C = - 118 - 6 77 20 1 - 13 235 12 - 153

Matriks a d j   M = C T = - 118 20 235 - 6 1 12 77 - 13 - 153

M - 1 = 1 d e t M × a d j   M

= 1 1 - 118 20 235 - 6 1 12 77 - 13 - 153

= - 118 20 235 - 6 1 12 77 - 13 - 153


Sebagai contoh :

1.

Dari rumus invers, jika determinan matriks sama dengan 0 maka inversnya tidak terdefinisi, atau matriks tersebut tidak punya invers. Matriks yang tidak punya invers disebut matriks singular. Diantara matriks A = 3 1 2 - 2 , B = 7 11 14 22 , dan C = - 2 - 3 6 9 , tentukan mana yang merupakan matriks singular !

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui matriks A = 2 3 3 5 , dan B = 5 - 3 - 3 2 , tentukan

a. A B

b. B A

c. A - 1

d. B - 1

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan invers dari matriks-matriks di bawah ini

  1. A = 3 4 4 2

  2. B = 40 10 110 30

  3. C = 3 4 9 12

  4. M = 10 3 5 2

Lihat Penyelesaian

4.

Diketahui A = 7 4 - 2 6 , dan B = x y + z x + y z + w . Jika A = B - 1 maka tentukan nilai dari w !

Lihat Penyelesaian

5.

Diketahui P Q - 1 = 2 3 - 1 6 , dan R Q - 1 = 1 2 2 3 , maka tentukan P R - 1 !

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui matriks A = 1 2 3 2 5 4 3 7 6 dan B = - 2 - 9 7 0 3 - 2 1 1 - 1 , tentukan

  1. Matriks hasil kali A B dan B A

  2. Invers dari matriks A dan invers matriks B

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan invers dari matriks A = 2 6 7 1 3 5 5 14 4 !

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan invers dari matriks A = 8 18 - 25 - 10 - 22 31 - 2 - 6 8 !

Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui A = x x + 1 2 x 8 - x , B = 1 2 3 4 , dan C = A - B , serta x 0 . Jika A tidak mempunyai invers maka tentukan

  1. Matriks A

  2. Invers dari matriks C

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui A = 1 - 3 2 5 - 3 3 4 - 1 2 dan I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Jika A - x I adalah matriks singular, maka tentukan nilai x yang memenuhi !

Lihat Penyelesaian