A. PENGERTIAN VEKTOR

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Dalam matematika vektor digambarkan dalam bentuk garis lurus yang mempunyai panjang dan arah.

Penulisan nama vektor:

  • dengan menggunakan huruf kapital harus menggunakan dua huruf, sebagai contoh vektor AB adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang ruas garis AB dan arahnya dari A ke B.

  • sedangkan dengan huruf kecil hanya satu huruf, sebagai contoh a ̅ .


Sebagai contoh :

1.

gambarkan vektor-vektor dengan ketentuan sebagai berikut

a. vektor a yang panjangnya 6 satuan dan arahnya ke utara

b. vektor b yang panjangnya 4 satuan dan arahnya ke barat

c. vektor PQ yang panjangnya 5 2 dan arahnya ke timur laut


Lihat Penyelesaian

2.

Pada segienam beraturan, berikan contoh

a.vektor yang sama dengan vektor AB

b. vektor yang sama dengan vektor BC

c. vektor yang sama dengan vektor DC

d. hubungan antara vektor FC dengan vektor AB

Lihat Penyelesaian


Penulisan vektor :

untuk tiga dimensi, dalam bentuk basis a ̅ = x i ̅ + y j ̅ + z k ̅ , dalam bentuk kolom a ̅ = x y z

sedangkan untuk dua dimensi a ̅ = x i ̅ + y j ̅ dan a ̅ = x y .

Panjang vektor a ̅ = x i ̅ + y j ̅ + z k ̅ adalah a ̅ dengan a ̅ = x 2 + y 2 + z 2

Vektor satuan dari a̅ adalah vektor yang searah dengan a̅ dan panjangnya 1 satuan, ditulis ea̅

dengan ea̅=1a̅a̅

i adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu X

j adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu Y

k adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu Z

Dalam dimensi dua i=10 dan j=01

Dalam ruang dimensi tiga, i=100 , j=010 , dan k=001


Vektor posisi dari titik A ( x , y ) adalah a ̅ , adalah vektor yang pangkalnya titik O(0,0) dan ujungnya titik A ( x , y ) , bisa juga ditulis OA ̅ .

Jika A ( x , y , z ) maka a ̅ = x y z .


Operasi pada vektor

Pada penjumlahan dua vektor OA ̅ + AB ̅ = OB ̅ , sehingga AB ̅ = OB ̅ - OA ̅ atau AB ̅ = b ̅ - a ̅ .

Perkalian vektor dengan bilangan real, Jika a ̅ = x y z maka k a ̅ = k x y z = kx ky kz

Operasi penjumlahan dan pengurangan dua buah vektor,

x y z + p q r = x + p y + q z + r dan

x y z - p q r = x - p y - q z - r


Sebagai contoh :

1.

Diketahui titik A(3, 2) dan B(-1, -5), maka tentukan

a. vektor posisi dari titik A dan B berikut panjangnya masing-masing

b. vektor AB ̅ dan AB ̅

c. vektor satuan dari a ̅ dan vektor satuan dari AB ̅

d. vektor 5 a ̅ dan vektor - 2 AB ̅


Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui titik A(3, -1, 5), maka

a. Nyatakan vektor posisi dari titik A dalam basis dan kolom ?

b. Tentukan panjang vektor posisi dari titik A

c. Tentukan vektor satuan dari vektor posisi titik A


Lihat Penyelesaian
3.

a. Pada gambar disamping ini gambar dan tentukan vektor posisi dari titik A dan B ?

b. gambar dan tentukan vektor AB̅ beserta panjangnya ?

 


Lihat Penyelesaian
4.

Pada gambar di samping ini, nyatakan vektor c̅ dalam a̅ dan b̅


Lihat Penyelesaian
5.

Pada gambar di samping ini,adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 2 satuan, titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah FG dan DH. Jika dibuat koordinat kartesius tiga dimensi dengan A sebagai titik asal, ke kanan sumbu X positif, ke dalam sumbu Y positif dan ke atas sumbu Z positif, nyatakan dalam vektor basis ?

a. AB̅

c. AP̅

e. QB̅

g. QP̅

b. AC̅

d. AG̅

f. DQ̅

h. PQ̅

Lihat Penyelesaian

B. GEOMETRI VEKTOR

Vektor - a ̅ adalah vektor yang panjangnya sama dengan a ̅ , tapi arahnya berlawanan dengan vektor a ̅ .

Vektor 2 a ̅ adalah vektor yang panjangnya dua kali dari a ̅ , dan arahnya sama dengan arah vektor a ̅

Penjumlahan dua buah vektor a ̅ + b ̅

Vektor a̅ dan b̅

Penjumlahan biasa

Metode jajaran genjang

Untuk vektor yang ditulis dengan 2 huruf capital Perhatikan contoh di bawah ini :

AB ̅ = - BA ̅

AB ̅ + BC ̅ = BC ̅

AB ̅ + BC ̅ + CD ̅ = AD ̅

AB ̅ + BC ̅ + CD ̅ + DE ̅ = AE ̅ dan seterusnya

Pengurangan dua buah vektor a ̅ - b ̅ sama dengan a ̅ + ( - b ̅ )


Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di samping ini, gambarkan vektor d dari hasil operasi di bawah ini

a. d=a+b          c. d=12a+b-c

b. d=a-2b

 


Lihat Penyelesaian
2.


Pada gambar di samping ini, tentukanlah

a. AB̅+BC̅

c. BA̅+CB̅

b. AB̅-AC̅

d. BA̅+AC̅-BC̅

 


Lihat Penyelesaian
3.

Pada gambar di samping ini, T titik tengah segi enam, tentukanlah

  a. beberapa vektor yang sama dengan, FE̅, FA̅, dan AB̅

b. AB̅+BC̅+CD̅

d. AC̅-AD̅

c. AB̅-AC̅

e. 2AB̅+AF̅+FD̅

 


Lihat Penyelesaian
4.

Pada gambar di samping ini, Titik D dan E berturut-turut titik tengah dari AB dan BC, maka tentukan perbandingan AF̅ dan FE̅


Lihat Penyelesaian
5.

Buktikan bahwa diagonal dari jajaran genjang membagi diagonal lainnya sama besar ?


Lihat Penyelesaian

C. PEMBAGIAN RUAS GARIS

Pada gambar di samping, titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n , maka vektor posisi titik P dapat

dinyatakan : p ̅ = n a ̅ + m b ̅ m + n


Sebagai contoh :

1.

Buktikan

Pada gambar di samping, titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n , maka vektor posisi titik P dapat

dinyatakan : p ̅ = n a ̅ + m b ̅ m + n


Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui A(3, -7), dan B(-2, 3), maka tentukanlah koordinat

a. titik P jika AP : PB = 2 : 3

b. titik Q jika AQ : AB = 13 : 5


Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui titik A(-2, -1, 5), B(4, 11, -13), dan C(-2, 3, -3). Tentukan koordinat titik

a. P jika AP ̅ : PB ̅ = 1 : 5

b. Q jika AQ ̅ : QB ̅ = 11 : - 5

c. R jika AR ̅ : RC ̅ = 3 : 1

d. S jika AS ̅ : CS ̅ = 11 : 7


Lihat Penyelesaian

  1. PERKALIAN SKALAR DUA BUAH VEKTOR

Perkalian skalar (scalar product) antara dua vektor disebut hasil kali titik (dot product) antara dua buah vektor .


Hasil kali skalar dua buah vektor adalah skalar ( bilangan ) bukan vektor

Definisi : a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯ cos θ

cos θ = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯

Vektor

dimana θ = ( a ¯ . b ¯   ) artinya θ adalah sudut antara vector a ¯ dan b ¯


TEOREMA :

Jika a ¯ = x a y a z a dan b ¯ = x b y b z b maka a ¯ b ¯ = x a x b + y a y b + z a z b

SIFAT-SIFAT PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

  1. Bersifat komutatif a ¯ b ¯ = b ¯ a ¯

  2. Bersifat distributif :

    a ¯ b ¯ + c ¯ = a ¯ b ¯ + a ¯ c ¯

    b ¯ + c ¯ a ¯ = b ¯ a ¯ + c ¯ a ¯

AKIBAT :

  1. Jika a ¯     b ¯ ( tegak lurus ) maka a ¯ b ¯ = 0 sebab cos 90 ° = 0

  2. Jika a ¯   / /   b ¯ ( sejajar ) maka a ¯ b - = a ¯ b ¯

    a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯ untuk a ¯ searah b ¯

    a ¯ b ¯ = - a ¯ b ¯ untuk a ¯ berlawanan arah dengan b ¯

    Lebih mudah Jika a ¯   / /   b ¯ maka a ¯ = k b ¯ (vektor a ¯   kelipatan vektor b ¯ )

  1. a ¯ a ¯ = a ¯ a ¯ a ¯ 2 = a ¯ a ¯ = a ¯ 2

    a ¯ + b ¯ 2 = a ¯ + b ¯ a ¯ + b ¯

    = a ¯ a ¯ + a ¯ b ¯ + b ¯ a ¯ + b ¯ b ¯

    = a ¯ 2 + 2 a ¯ b ¯ + b ¯ 2

  1. a ¯ . a ¯ 0 , dan a ¯ . a ¯ = 0 Jika dan hanya jika a ¯ = 0

Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Jika a ¯ = 2 3 , dan b ¯ = - 1 4 , maka tentukan hasil dari a ¯ b ¯ !

    Jawab :

    a ¯ b ¯ = 2 3 - 1 4

    = 2 × - 1 + 3 × 4

    = - 2 + 12

    = 10



  1. Tentukan cosinus sudut antara vector a ¯ = i ¯ + j ¯ + k ¯ dan b ¯ = 3 i ¯ - 2 j ¯ + 6 k ¯ !

    Jawab :

    Misal α = a ¯ , b ¯

    a ¯ = i ¯ + j ¯ + k ¯ = 1 1 1 a ¯ = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

    b ¯ = 3 i ¯ - 2 j ¯ + 6 k ¯ = 3 - 2 6 b ¯ = 3 2 + - 2 2 + 6 2 = 7

    a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯ cos α

    1 × 3 + 1 × - 2 + 1 × 6 = 3 × 7 cos α

    3 - 2 + 6 = 7 3 cos α

    7 = 7 3 cos α

    cos α = 1 3



  1. Jika a ¯ b ¯ = - 1 2 3   a ¯ b ¯ maka tentukan besar sudut vector a ¯ dan b ¯ !

    Jawab :

    Bandingkan a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯ cos θ a ¯ b ¯ = - 1 2 3   a ¯ b ¯

    Jelas bahwa cos θ = - 1 2 3

    θ = 150 °   sudut antara dua vector maksimal 180 °

    Jadi besar sudut vector a ¯ dan b ¯ adalah 150 °



  1. Jika vektor u ¯ = 3 x dan v ¯ = - 12 4 saling tegak lurus , maka tentukan nilai !

    Jawab :

    Dua vector saling tegak lurus maka hasil kali skalarnya adalah 0

    u ¯     v ¯ u ¯ v ¯ = 0

    3 x - 12 4 = 0

    3 × - 12 + x × 4 = 0

    - 36 + 4 x = 0

    x = 9



  1. Jika vektor p ¯ = 1 4 - 3 dan q ¯ = m - 12 n saling sejajar , maka tentukan nilai m + n !

    Jawab :

    Dua vector saling sejajar maka salah satu vector kelipatan vector yang lain

    p ¯     / /     q ¯ q ¯ = k p ¯

    m - 12 n = k 1 4 - 3

    • - 12 = 4 k didapat k = - 3

    • m = k didapat m = - 3

    • n = - 3 k didapat n = 9

    Jadi m + n = - 3 + 9

    = 6



  1. Diketahui a ¯ = 7 , b ¯ = 12 , dan a ¯ + b ¯ = 13 maka tentukan a ¯ - b ¯ !

    Jawab :

    a ¯ + b ¯ 2 = a ¯ 2 + 2 a ¯ b ¯ + b ¯ 2

    13 2 = 7 2 + 2 a ¯ b ¯ + 12 2

    169 = 49 + 2 a ¯ b ¯ + 144

    2 a ¯ b ¯ = 169 - 49 - 144

    = - 24

    a ¯ - b ¯ 2 = a ¯ 2 - 2 a ¯ b ¯ + b ¯ 2

    = 7 2 - - 24 + 12 2

    = 49 + 24 + 144

    = 217

    Jadi a ¯ - b ¯ = 217



  1. Diketahui A B C sama sisi dengan panjang rusuk 10 satuan, maka tentukan

    1. A B ¯ A C ¯

    2. A B ¯ B C ¯

Jawab :

A B ¯ A C ¯ = A B ¯ A C ¯ cos B A C

= 10 × 10 × cos 60 °

= 100 × 1 2

= 50  

Vektor

A B ¯ B C ¯ = A B ¯ B C ¯ cos 180 ° - B A C

= 10 × 10 × cos 120 °

= 100 × - 1 2

= - 50  

Keterangan :

Sudut antara vector A B ¯ dan B C ¯ adalah 120 °

Vektor



8 . Diketahui titik A 2 ,   3 dan B 6 ,   - 2 tentukan

a . a ¯ b ¯ b. cos θ jika θ = a ¯ b ¯

jawab :

  1. a ¯ b ¯ hasil kali sekalar vector posisi titik A dan titik B

    A 2 ,   3 maka vektor posisinya adalah a ¯ = O A ¯ = 2 3

    B( 6, -2) maka vektor posisinya adalah b ¯ = O B ¯ = 6 - 2

    a ¯ b ¯ = 2 3 . 6 - 2

    = 2 × 6 + 3 × ( - 2 )

    = 12 - 6

    = 6

  2. cos θ jika θ = a ¯ b ¯

    a ¯ = 2 3 maka panjang vektor a ¯ adalah a ¯ = 2 2 + 3 2 = 13

    b ¯ = 6 - 2 maka panjang vektor b ¯ adalah b ¯ = 6 2 + ( - 2 ) 2 = 40

    cos θ = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯ cos θ = 6 13 40 hasil a ¯ . b ¯ = 6 lihat di soal a.

    = 3 520



Sebagai contoh :

1.

Diketahui kubus A B C D E F G H dengan panjang rusuk 4 satuan, tentukan hasil dari

  1. A B ¯ A C ¯ secara geometri

  2. A C ¯ A F ¯ secara geometri

           
  1. A C ¯ F A ¯ secara analit

  2. A C ¯ A G ¯ secara analit

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui titik-titik A 2 ,   3 , B 8 ,   - 7 , dan C 23 ,   2 , maka tentukan

a. B A ¯ B C ¯

b. Besar B A C

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui jajarangenjang A B C D dengan A 2 ,   3 , B5, 5, dan C10, 15 , maka tentukan

a. A C ¯ B D ¯

b. tan A C ¯ ,   B D ¯

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui A 3 ,   - 1 ,   5 , B 1 ,   2 ,   3 , dan C 15 ,   - 1 ,   8 maka tentukan

a. A B ¯ A C ¯

b. sin θ , jika θ = B A C

Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui a ¯ = 4 x , b ¯ = 3 x - 1 dan b ¯ = x 2 . Jika vektor a ¯ + 2 b ¯ tegak lurus dengan vektor c ¯ maka tentukan nilai x !

Lihat Penyelesaian
6.

Diketahui vector nilai m   yang memenuhi jika

  1. vektor a ¯ = - 3 m tegak lurus dengan b ¯ = 4 m - 4

  2. vektor u ¯ = 3 i ¯ + 4 j ¯ + m - 3 k ¯ tegak lurus dengan u ¯ = m i ¯ + m + 3 j ¯ + 5 k ¯

Lihat Penyelesaian
7.

Diketahui a ¯ = x i ¯ + 3 j ¯ - 4 k ¯ , b - = 2 i ¯ - 6 j ¯ - z k ¯ , dan c ¯ = 3 x i ¯ + 4 j ¯ + 5 z k ¯ . Jika vektor a ¯ sejajar b ¯ maka tentukan a ¯ . c ¯ !

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan hasil kali scalar dua vector jika diketahui

  1. vektor a ¯ = 3 x sejajar dengan b ¯ = 4 x + 3

  2. vektor u ¯ = 3 i ¯ + 2 j ¯ - k ¯ sejajar dengan v ¯ = m i ¯ - 4 j ¯ + n k ¯

Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui titik-titik A 2 ,   1 ,   4 , - 5 ,   3 ,     m , dan C 5 ,   m - 1 ,   m + 3 . Jika nilai m   yang memenuhi jika A B ¯   tegak lurus dengan A C ¯ adalah m 1 dan m 2 maka tentukan nilai dari m 1 2 + m 2 2 !

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui ketiga titik A 2 ,   5 ,   10 , B 11 ,   - 4 ,   - 17 , dan C - 2 ,   m ,   n kolinier , tentukan

  1. Nilai dari m + n

  2. Hasil kali scalar a ¯ c ¯ dengan a ¯ dan c ¯ vector posisi dari titik A dan C

Lihat Penyelesaian
11.

Diketahui segienam beraturan A B C D E F dengan panjang rusuk 4 satuan, tentukan

a. A B ¯ A D ¯

c. A B ¯ A F ¯

e. B E ¯ C D ¯

b. A B ¯ B C ¯

d. A B ¯ D A ¯

f. B E ¯ D E ¯

Lihat Penyelesaian
12.

Tentukan besar sudut masing-masing dibawah ini jika diketahui hasil kali skalarnya

a. 2 a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯

c. u ¯ v ¯ = - u ¯ v ¯

b. 2 c ¯ d ¯ = 3 c ¯ d ¯

d. p ¯ q ¯ = - 1 2 p ¯ q ¯

Lihat Penyelesaian
13.

Diketahui a ¯ = 4 , b ¯ = 6 , dan a ¯ + b ¯ = 8 , maka tentukan

a. a ¯ b ¯

c. a ¯ + 2 b ¯ dan 3 a ¯ - b ¯

b. cos θ jika θ = a ¯ , b ¯

d. sin θ jika θ = a ¯ + 2 b ¯   , 3 a ¯ - b ¯

Lihat Penyelesaian
14.

Diketahui 2, 4 , B-7, 7, dan C3, 6. Tentukan

  1. tan A P C jika P terletak pada garis AB dengan AP÷AB=2÷3

  2. tan A Q C jika Q terletak pada garis AB dengan AQ÷QB=10÷-7

Lihat Penyelesaian
15.

Diketahui segitiga ABC, dengan A2, 3, 4 , B-3, 4, -7, dan C16, 11, 0. Jika T adalah titik berat segitiga ABC, maka tentukan

  1. Koordinat titik T

  2. Hasil kali skalar vektor TA¯ dan TB¯

  3. Besar sudut antara vektor TA¯ dan TB¯

Lihat Penyelesaian

E. PERKALIAN SILANG DUA BUAH VEKTOR

Hasil kali silang dua buah vektor adalah vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor yang dikalikan dan arahnya sesuai dengan aturan tangan kanan.

a ̅ × b ̅ = a ̅ b ̅ sin θ dengan θ sudut apit kedua vektor, 0 ° θ 180 °


Secara matematika

a ̅ × b ̅ = i ̅ j ̅ k ̅ x a y a z a x b y b z b dan panjangnya a ̅ × b ̅ = a ̅ b ̅ sin θ         θ = < ( a ̅ , b ̅ )


Dimana i ̅ j ̅ k ̅ x a y a z a x b y b z b = i ¯ y a z a y b z b - j ¯ x a z a x b z b + k ¯ x a y a x b y b       (determinan)

= i ¯ y a z b - z a y b - j ¯ x a z b - z a x b + k ¯ x a y b - y a x b


Sebagai contoh :

1.

Jika a ̅ = 2 i ̅ - j ̅ + 3 k ̅ , dan b ̅ = i ̅ + 2 j ̅ + 4 k ̅ maka tentukan

a. a ̅ × b ̅

b. b ̅ × a ̅

c. hubungan antara a ̅ × b ̅ dan b ̅ × a ̅


Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui A(1, 2, 3) , B(3, 3, 5), dan C(10, 4, -9) tentukan

a. AB ̅ × AC ̅

b. AB ̅ × AC ̅


Lihat Penyelesaian
3.

Gambar di samping adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 4 satuan, S pusat ABCD, maka tentukanlah

a. AB̅×AS̅

c. AB̅×BG̅

b. AB̅×AD̅

d. BD̅×BE̅


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan vektor r ¯ yang panjangnya 10 satuan yang tegak lurus dengan vektor a ̅ = 2 3 6 dan juga tegak lurus dengan vektor b ̅ = 1 - 1 2 ?


Lihat Penyelesaian
5.

Jika a¯=4 , b¯=6 , dan a¯+2b¯=10 maka tentukan a¯×b¯ ?


Lihat Penyelesaian

  1. PROYEKSI SKALAR DAN PROYEKSI ORTOGONAL

Proyeksi skalar atau panjang proyeksi dari a - pada b - adalah p ¯

yang nilainya sama dengan harga mutlak a ¯ . b ¯ b ¯

p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯     a ¯ b ¯ b ¯ artinya harga mutlak dari a ¯ b ¯ b ¯

Proyeksi vektor atau proyeksi orthogonal a ¯ pada b ¯ adalah p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ 2 b ¯


Bukti :

Akan dibuktikan bahwa

proyeksi skalar atau panjang proyeksi dari a ¯ pada b ¯ adalah p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯

dan proyeksi orthogonal a ¯ pada b ¯ adalah p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ 2 b ¯

Bukti :


Vektor

Pada gambar segitiga di atas , cos θ = p ¯ a ¯ ….. (1)

Sedangkan rumus perkalian scalar dua vektor cos θ = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯ …..(2)

Dari persamaan (1) dan (2 ) didapat :

cos θ = p ¯ a ¯   cos θ = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯ maka p ¯ a ¯   = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯ ( dengan mencoret penyebut a ¯ )

Didapat p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯

Karena p ¯ adalah panjang vektor , maka nilainya harus positif , jadi

p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ terbukti

Sedangkan vektornya p ¯ searah dengan b ¯

Sehingga dapat dikatakan bahwa vector p ¯ kelipatan dari vector b ¯

p ¯ = k b ¯ dimana k = p ¯ b ¯

Jadi p ¯ = p ¯ b ¯ ¯ × b ¯ dengan mensubstitusi p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ didapat

= a ¯ b ¯ b ¯ 2 b ¯   terbukti

Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Pada gambar di bawah ini tentukan

    1. panjang proyeksi a ¯ pada b ¯

    2. proyeksi vector a ¯ pada b ¯

    Vektor

Jawab :

Secara geometri :

  • geser vector a ¯ sehingga pangkal kedua vector bertemu

  • Proyeksikan vector a ¯ ( biru ) ke vector b ¯ ( merah )

  • Hasil proyeksinya adalah vector p ¯     ( hijau )

Panjang proyeksinya p ¯ = 5 dan proyeksi vektornya p ¯ = 5 0

Vektor


secara aljabar :

vector a ¯ berarah ke kanan 5 satuan dan ke atas 2 satuan

a ¯ = 5 2 dan a ¯ = 5 2 + 2 2 = 29

vector b ¯ berarah kekanan 6 satuan dan ke atas 0 satuan

b ¯ = 6 0   dan b ¯ = 6 2 + 0 2 = 6

Panjang proyeksinya p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ = 5 2 6 0 6 = 30 + 0 6 = 5

Proyeksi vektornya p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ 2 b ¯ = 5 2 6 0 6 2 b ¯ = 30 + 0 36 b ¯ = 5 6 b ¯

= 5 6 6 0

= 5 0

  1. Diketahui u ¯ = - i ¯ + 3 j ¯ + 4 k ¯ dan v ¯ = 2 i ¯ - j ¯ + 5 k ¯ , tentukan proyeksi scalar dan proyeksi orthogonal vector u ¯ pada v ¯ !


    Jawab :

u ¯ = - i ¯ + 3 j ¯ + 4 k ¯ = - 1 3 4

v ¯ = 2 i ¯ - j ¯ + 5 k ¯ = 2 - 1 5 dan v ¯ = 2 2 + - 1 2 + 5 2 = 30

u ¯ v ¯ = - 1 3 4 2 - 1 5 = - 1 × 2 + 3 × - 1 + 4 × 5

= - 2 - 3 + 20

= 15

Proyeksi scalar u ¯ pada v ¯ :

p ¯ = u ¯ v ¯ v ¯ = 15 30 = 1 2 30

sudah bernilai positif , rumusnya tidak perlu harga mutlak

Proyeksi orthogonal u ¯ pada v ¯ :

p ¯ = u ¯ v ¯ v ¯ 2 v ¯

= 15 30 v ¯

= 1 2 2 - 1 5

  1. Diketahui vector a ¯ dan b ¯ membentuk sudut tumpul, dengan a ¯ = 10 , b ¯ = 15 dan panjang proyeksi a ¯ pada b ¯ adalah 8 . Tentukan panjang dari vector a ¯   +   b ¯ !

    Jawab :

    Diketahui panjang proyeksi a ¯ pada b ¯ adalah 8 p ¯ = 8

    Panjang vector a ¯ pada b ¯ berturut-turut a ¯ = 10 dan b ¯ = 15

    p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ a ¯ b ¯ b ¯ = 8

    Karena sudut antara vector a ¯ dan b ¯ tumpul, maka :

    a ¯ b ¯ b ¯ = - 8 a ¯ b ¯ = - 8 b ¯

    = - 120

    panjang dari vector a ¯   +   b ¯ adalah a ¯   +   b ¯ :

    a ¯   +   b ¯ 2 = a ¯ 2 + 2 a ¯ b ¯ +   b ¯ 2

    = 10 2 + 2 - 120 + 15 2

    = 100 - 240 + 225

    = 85

    a ¯   +   b ¯ = 85



Sebagai contoh :

1.

Diketahui titik 2 ,   0 , B 17,9 , dan C 9 ,   11 .

  1. Gambar pada koordinat cartesius dan perkirakan panjang proyeksi dan proyeksi vector A C ¯ pada A B ¯

  2. Tentukan panjang proyeksi dan proyeksi vector A C ¯ pada A B ¯ secara aljabar

Lihat Penyelesaian
2.

Vektor

Pada gambar di samping, setiap kotak mewakili satu satuan, maka tentukan

a. vektor a¯

b. vektor b ¯

c. panjang proyeksi vektor a¯ pada b¯

d. proyeksi vektor a¯ pada b¯

Lihat Penyelesaian

3.

Vektor

Pada gambar di samping, setiap kotak mewakili satu satuan, maka tentukan

a. vektor a

b. vektor b

c. panjang proyeksi vektor a pada b

d. proyeksi vektor a pada b

Lihat Penyelesaian

4.

u ¯ = i ¯ + 2 j ¯ - 10 k ¯ , dan v ¯ = - 2 i ¯ + 4 j ¯ - 4 k ¯ , maka tentukan

  1. Panjang proyeksi vektor u ¯ pada v ¯

  2. Proyeksi vektor u ¯ pada v ¯

  3. Proyeksi orthogonal vektor v ¯ pada u ¯

  4. Panjang proyeksi vektor u ¯ pada u ¯ - v ¯

Lihat Penyelesaian
5.

Kerjakan soal ini secara aljabar dan geometri !

Vektor

Pada gambar di samping adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 2 satuan, M titik tengah HG dan N titik tengah CD, tentukan

a. panjang proyeksi vektor AM¯ pada AN¯

b. panjang proyeksi vektor DM¯ pada DC¯

c. proyeksi vektor AG¯ pada AC¯

d.proyeksi vektor EM¯ pada FG¯

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui A( 2, 4, 1), B(3, 4, -1), dan C(-2, -4, -7). Maka tentukan

  1. Panjang proyeksi vektor AB¯ pada AC¯

  2. Proyeksi vektor AB¯ pada BC¯

Lihat Penyelesaian
7.

Gambar di bawah adalah segitiga ABC dan CD adalah garis tinggi, tentukan koordinat titik D !

Vektor

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui a ¯ = 2 i ¯ + 3 j ¯ - 6 k ¯ , b ¯ = 8 , dan a ¯ - b ¯ = 10 , tentukan

  1. a ¯ b ¯

  2. Proyeksi skalar a ¯     pada b ¯

  3. Proyeksi vektor b ¯ pada a ¯

Lihat Penyelesaian
9.

Jika a¯=4, b¯=6, dan a¯+b¯=8 maka tentukan panjang proyeksi b¯ pada 3a¯-b¯ !

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui a¯=4, b¯=43, dan panjang proyeksi a¯ pada b¯ adalah 3. Jika a¯ dan b¯ membentuk sudut tumpul, maka tentukan nilai dari 4a¯-b¯ !

Lihat Penyelesaian
11.

Diketahui a¯=1-45, b¯=212, dan u¯=2-xx-32x. Jika b¯ (a¯-2u¯) maka tentukan proyeksi scalar b¯ pada u¯ !

Lihat Penyelesaian
12.

Diketahui a ¯ = 2 i ¯ + j ¯ - 2 k ¯ , b ¯ = 4 , dan besar sudut antara vektor a ¯ pada b ¯ adalah 120 ° maka tentukan proyeksi vektor b ¯ pada a ¯   !

Lihat Penyelesaian
13.

Diketahui 10 ,   5 ,   8 , B 11 ,   7 ,   k , dan C 12 ,   6 ,   7 . Jika proyeksi scalar A B ¯ pada A C ¯ adalah 1 3 6 , maka tentukan

a. Nilai k
b. proyeksi orthogonal B A ¯ pada B C ¯
Lihat Penyelesaian
14.

Diketahui vector-vektor a ¯ = x 2 , b ¯ = 4 3 , dan c ¯ = 5 12 dengan x bilangan positif . Jika panjang proyeksi vector a ¯ pada b ¯ sama dengan panjang proyeksi vector a ¯ pada c ¯ , maka tentukan

a. Nilai x
b. Proyeksi vector a ¯ pada b ¯ + c ¯
Lihat Penyelesaian
15.

Diketahui sudut antara vector a ¯ = m i ¯ + 2 m + 1 j ¯ + m 3   k ¯ dan b ¯ adalah π 3 . Jika panjang proyeksi vector a ¯ pada b ¯ adalah 1 2 5 maka tentukan nilai !

Lihat Penyelesaian