1. PROYEKSI SKALAR DAN PROYEKSI ORTOGONAL

Proyeksi skalar atau panjang proyeksi dari a - pada b - adalah p ¯

yang nilainya sama dengan harga mutlak a ¯ . b ¯ b ¯

p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯     a ¯ b ¯ b ¯ artinya harga mutlak dari a ¯ b ¯ b ¯

Proyeksi vektor atau proyeksi orthogonal a ¯ pada b ¯ adalah p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ 2 b ¯


Bukti :

Akan dibuktikan bahwa

proyeksi skalar atau panjang proyeksi dari a ¯ pada b ¯ adalah p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯

dan proyeksi orthogonal a ¯ pada b ¯ adalah p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ 2 b ¯

Bukti :


Vektor

Pada gambar segitiga di atas , cos θ = p ¯ a ¯ ….. (1)

Sedangkan rumus perkalian scalar dua vektor cos θ = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯ …..(2)

Dari persamaan (1) dan (2 ) didapat :

cos θ = p ¯ a ¯   cos θ = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯ maka p ¯ a ¯   = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯ ( dengan mencoret penyebut a ¯ )

Didapat p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯

Karena p ¯ adalah panjang vektor , maka nilainya harus positif , jadi

p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ terbukti

Sedangkan vektornya p ¯ searah dengan b ¯

Sehingga dapat dikatakan bahwa vector p ¯ kelipatan dari vector b ¯

p ¯ = k b ¯ dimana k = p ¯ b ¯

Jadi p ¯ = p ¯ b ¯ ¯ × b ¯ dengan mensubstitusi p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ didapat

= a ¯ b ¯ b ¯ 2 b ¯   terbukti

Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Pada gambar di bawah ini tentukan

    1. panjang proyeksi a ¯ pada b ¯

    2. proyeksi vector a ¯ pada b ¯

    Vektor

Jawab :

Secara geometri :

  • geser vector a ¯ sehingga pangkal kedua vector bertemu

  • Proyeksikan vector a ¯ ( biru ) ke vector b ¯ ( merah )

  • Hasil proyeksinya adalah vector p ¯     ( hijau )

Panjang proyeksinya p ¯ = 5 dan proyeksi vektornya p ¯ = 5 0

Vektor


secara aljabar :

vector a ¯ berarah ke kanan 5 satuan dan ke atas 2 satuan

a ¯ = 5 2 dan a ¯ = 5 2 + 2 2 = 29

vector b ¯ berarah kekanan 6 satuan dan ke atas 0 satuan

b ¯ = 6 0   dan b ¯ = 6 2 + 0 2 = 6

Panjang proyeksinya p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ = 5 2 6 0 6 = 30 + 0 6 = 5

Proyeksi vektornya p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ 2 b ¯ = 5 2 6 0 6 2 b ¯ = 30 + 0 36 b ¯ = 5 6 b ¯

= 5 6 6 0

= 5 0

  1. Diketahui u ¯ = - i ¯ + 3 j ¯ + 4 k ¯ dan v ¯ = 2 i ¯ - j ¯ + 5 k ¯ , tentukan proyeksi scalar dan proyeksi orthogonal vector u ¯ pada v ¯ !


    Jawab :

u ¯ = - i ¯ + 3 j ¯ + 4 k ¯ = - 1 3 4

v ¯ = 2 i ¯ - j ¯ + 5 k ¯ = 2 - 1 5 dan v ¯ = 2 2 + - 1 2 + 5 2 = 30

u ¯ v ¯ = - 1 3 4 2 - 1 5 = - 1 × 2 + 3 × - 1 + 4 × 5

= - 2 - 3 + 20

= 15

Proyeksi scalar u ¯ pada v ¯ :

p ¯ = u ¯ v ¯ v ¯ = 15 30 = 1 2 30

sudah bernilai positif , rumusnya tidak perlu harga mutlak

Proyeksi orthogonal u ¯ pada v ¯ :

p ¯ = u ¯ v ¯ v ¯ 2 v ¯

= 15 30 v ¯

= 1 2 2 - 1 5

  1. Diketahui vector a ¯ dan b ¯ membentuk sudut tumpul, dengan a ¯ = 10 , b ¯ = 15 dan panjang proyeksi a ¯ pada b ¯ adalah 8 . Tentukan panjang dari vector a ¯   +   b ¯ !

    Jawab :

    Diketahui panjang proyeksi a ¯ pada b ¯ adalah 8 p ¯ = 8

    Panjang vector a ¯ pada b ¯ berturut-turut a ¯ = 10 dan b ¯ = 15

    p ¯ = a ¯ b ¯ b ¯ a ¯ b ¯ b ¯ = 8

    Karena sudut antara vector a ¯ dan b ¯ tumpul, maka :

    a ¯ b ¯ b ¯ = - 8 a ¯ b ¯ = - 8 b ¯

    = - 120

    panjang dari vector a ¯   +   b ¯ adalah a ¯   +   b ¯ :

    a ¯   +   b ¯ 2 = a ¯ 2 + 2 a ¯ b ¯ +   b ¯ 2

    = 10 2 + 2 - 120 + 15 2

    = 100 - 240 + 225

    = 85

    a ¯   +   b ¯ = 85



Sebagai contoh :

1.

Diketahui titik 2 ,   0 , B 17,9 , dan C 9 ,   11 .

  1. Gambar pada koordinat cartesius dan perkirakan panjang proyeksi dan proyeksi vector A C ¯ pada A B ¯

  2. Tentukan panjang proyeksi dan proyeksi vector A C ¯ pada A B ¯ secara aljabar

Lihat Penyelesaian
2.

Vektor

Pada gambar di samping, setiap kotak mewakili satu satuan, maka tentukan

a. vektor a¯

b. vektor b ¯

c. panjang proyeksi vektor a¯ pada b¯

d. proyeksi vektor a¯ pada b¯

Lihat Penyelesaian

3.

Vektor

Pada gambar di samping, setiap kotak mewakili satu satuan, maka tentukan

a. vektor a

b. vektor b

c. panjang proyeksi vektor a pada b

d. proyeksi vektor a pada b

Lihat Penyelesaian

4.

u ¯ = i ¯ + 2 j ¯ - 10 k ¯ , dan v ¯ = - 2 i ¯ + 4 j ¯ - 4 k ¯ , maka tentukan

  1. Panjang proyeksi vektor u ¯ pada v ¯

  2. Proyeksi vektor u ¯ pada v ¯

  3. Proyeksi orthogonal vektor v ¯ pada u ¯

  4. Panjang proyeksi vektor u ¯ pada u ¯ - v ¯

Lihat Penyelesaian
5.

Kerjakan soal ini secara aljabar dan geometri !

Vektor

Pada gambar di samping adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 2 satuan, M titik tengah HG dan N titik tengah CD, tentukan

a. panjang proyeksi vektor AM¯ pada AN¯

b. panjang proyeksi vektor DM¯ pada DC¯

c. proyeksi vektor AG¯ pada AC¯

d.proyeksi vektor EM¯ pada FG¯

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui A( 2, 4, 1), B(3, 4, -1), dan C(-2, -4, -7). Maka tentukan

  1. Panjang proyeksi vektor AB¯ pada AC¯

  2. Proyeksi vektor AB¯ pada BC¯

Lihat Penyelesaian
7.

Gambar di bawah adalah segitiga ABC dan CD adalah garis tinggi, tentukan koordinat titik D !

Vektor

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui a ¯ = 2 i ¯ + 3 j ¯ - 6 k ¯ , b ¯ = 8 , dan a ¯ - b ¯ = 10 , tentukan

  1. a ¯ b ¯

  2. Proyeksi skalar a ¯     pada b ¯

  3. Proyeksi vektor b ¯ pada a ¯

Lihat Penyelesaian
9.

Jika a¯=4, b¯=6, dan a¯+b¯=8 maka tentukan panjang proyeksi b¯ pada 3a¯-b¯ !

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui a¯=4, b¯=43, dan panjang proyeksi a¯ pada b¯ adalah 3. Jika a¯ dan b¯ membentuk sudut tumpul, maka tentukan nilai dari 4a¯-b¯ !

Lihat Penyelesaian
11.

Diketahui a¯=1-45, b¯=212, dan u¯=2-xx-32x. Jika b¯ (a¯-2u¯) maka tentukan proyeksi scalar b¯ pada u¯ !

Lihat Penyelesaian
12.

Diketahui a ¯ = 2 i ¯ + j ¯ - 2 k ¯ , b ¯ = 4 , dan besar sudut antara vektor a ¯ pada b ¯ adalah 120 ° maka tentukan proyeksi vektor b ¯ pada a ¯   !

Lihat Penyelesaian
13.

Diketahui 10 ,   5 ,   8 , B 11 ,   7 ,   k , dan C 12 ,   6 ,   7 . Jika proyeksi scalar A B ¯ pada A C ¯ adalah 1 3 6 , maka tentukan

a. Nilai k
b. proyeksi orthogonal B A ¯ pada B C ¯
Lihat Penyelesaian
14.

Diketahui vector-vektor a ¯ = x 2 , b ¯ = 4 3 , dan c ¯ = 5 12 dengan x bilangan positif . Jika panjang proyeksi vector a ¯ pada b ¯ sama dengan panjang proyeksi vector a ¯ pada c ¯ , maka tentukan

a. Nilai x
b. Proyeksi vector a ¯ pada b ¯ + c ¯
Lihat Penyelesaian
15.

Diketahui sudut antara vector a ¯ = m i ¯ + 2 m + 1 j ¯ + m 3   k ¯ dan b ¯ adalah π 3 . Jika panjang proyeksi vector a ¯ pada b ¯ adalah 1 2 5 maka tentukan nilai !

Lihat Penyelesaian