1. PERKALIAN SKALAR DUA BUAH VEKTOR

Perkalian skalar (scalar product) antara dua vektor disebut hasil kali titik (dot product) antara dua buah vektor .


Hasil kali skalar dua buah vektor adalah skalar ( bilangan ) bukan vektor

Definisi : a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯ cos θ

cos θ = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯

Vektor

dimana θ = ( a ¯ . b ¯   ) artinya θ adalah sudut antara vector a ¯ dan b ¯


TEOREMA :

Jika a ¯ = x a y a z a dan b ¯ = x b y b z b maka a ¯ b ¯ = x a x b + y a y b + z a z b

SIFAT-SIFAT PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR

  1. Bersifat komutatif a ¯ b ¯ = b ¯ a ¯

  2. Bersifat distributif :

    a ¯ b ¯ + c ¯ = a ¯ b ¯ + a ¯ c ¯

    b ¯ + c ¯ a ¯ = b ¯ a ¯ + c ¯ a ¯

AKIBAT :

  1. Jika a ¯     b ¯ ( tegak lurus ) maka a ¯ b ¯ = 0 sebab cos 90 ° = 0

  2. Jika a ¯   / /   b ¯ ( sejajar ) maka a ¯ b - = a ¯ b ¯

    a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯ untuk a ¯ searah b ¯

    a ¯ b ¯ = - a ¯ b ¯ untuk a ¯ berlawanan arah dengan b ¯

    Lebih mudah Jika a ¯   / /   b ¯ maka a ¯ = k b ¯ (vektor a ¯   kelipatan vektor b ¯ )

  1. a ¯ a ¯ = a ¯ a ¯ a ¯ 2 = a ¯ a ¯ = a ¯ 2

    a ¯ + b ¯ 2 = a ¯ + b ¯ a ¯ + b ¯

    = a ¯ a ¯ + a ¯ b ¯ + b ¯ a ¯ + b ¯ b ¯

    = a ¯ 2 + 2 a ¯ b ¯ + b ¯ 2

  1. a ¯ . a ¯ 0 , dan a ¯ . a ¯ = 0 Jika dan hanya jika a ¯ = 0

Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Jika a ¯ = 2 3 , dan b ¯ = - 1 4 , maka tentukan hasil dari a ¯ b ¯ !

    Jawab :

    a ¯ b ¯ = 2 3 - 1 4

    = 2 × - 1 + 3 × 4

    = - 2 + 12

    = 10



  1. Tentukan cosinus sudut antara vector a ¯ = i ¯ + j ¯ + k ¯ dan b ¯ = 3 i ¯ - 2 j ¯ + 6 k ¯ !

    Jawab :

    Misal α = a ¯ , b ¯

    a ¯ = i ¯ + j ¯ + k ¯ = 1 1 1 a ¯ = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

    b ¯ = 3 i ¯ - 2 j ¯ + 6 k ¯ = 3 - 2 6 b ¯ = 3 2 + - 2 2 + 6 2 = 7

    a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯ cos α

    1 × 3 + 1 × - 2 + 1 × 6 = 3 × 7 cos α

    3 - 2 + 6 = 7 3 cos α

    7 = 7 3 cos α

    cos α = 1 3



  1. Jika a ¯ b ¯ = - 1 2 3   a ¯ b ¯ maka tentukan besar sudut vector a ¯ dan b ¯ !

    Jawab :

    Bandingkan a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯ cos θ a ¯ b ¯ = - 1 2 3   a ¯ b ¯

    Jelas bahwa cos θ = - 1 2 3

    θ = 150 °   sudut antara dua vector maksimal 180 °

    Jadi besar sudut vector a ¯ dan b ¯ adalah 150 °



  1. Jika vektor u ¯ = 3 x dan v ¯ = - 12 4 saling tegak lurus , maka tentukan nilai !

    Jawab :

    Dua vector saling tegak lurus maka hasil kali skalarnya adalah 0

    u ¯     v ¯ u ¯ v ¯ = 0

    3 x - 12 4 = 0

    3 × - 12 + x × 4 = 0

    - 36 + 4 x = 0

    x = 9



  1. Jika vektor p ¯ = 1 4 - 3 dan q ¯ = m - 12 n saling sejajar , maka tentukan nilai m + n !

    Jawab :

    Dua vector saling sejajar maka salah satu vector kelipatan vector yang lain

    p ¯     / /     q ¯ q ¯ = k p ¯

    m - 12 n = k 1 4 - 3

    • - 12 = 4 k didapat k = - 3

    • m = k didapat m = - 3

    • n = - 3 k didapat n = 9

    Jadi m + n = - 3 + 9

    = 6



  1. Diketahui a ¯ = 7 , b ¯ = 12 , dan a ¯ + b ¯ = 13 maka tentukan a ¯ - b ¯ !

    Jawab :

    a ¯ + b ¯ 2 = a ¯ 2 + 2 a ¯ b ¯ + b ¯ 2

    13 2 = 7 2 + 2 a ¯ b ¯ + 12 2

    169 = 49 + 2 a ¯ b ¯ + 144

    2 a ¯ b ¯ = 169 - 49 - 144

    = - 24

    a ¯ - b ¯ 2 = a ¯ 2 - 2 a ¯ b ¯ + b ¯ 2

    = 7 2 - - 24 + 12 2

    = 49 + 24 + 144

    = 217

    Jadi a ¯ - b ¯ = 217



  1. Diketahui A B C sama sisi dengan panjang rusuk 10 satuan, maka tentukan

    1. A B ¯ A C ¯

    2. A B ¯ B C ¯

Jawab :

A B ¯ A C ¯ = A B ¯ A C ¯ cos B A C

= 10 × 10 × cos 60 °

= 100 × 1 2

= 50  

Vektor

A B ¯ B C ¯ = A B ¯ B C ¯ cos 180 ° - B A C

= 10 × 10 × cos 120 °

= 100 × - 1 2

= - 50  

Keterangan :

Sudut antara vector A B ¯ dan B C ¯ adalah 120 °

Vektor



8 . Diketahui titik A 2 ,   3 dan B 6 ,   - 2 tentukan

a . a ¯ b ¯ b. cos θ jika θ = a ¯ b ¯

jawab :

  1. a ¯ b ¯ hasil kali sekalar vector posisi titik A dan titik B

    A 2 ,   3 maka vektor posisinya adalah a ¯ = O A ¯ = 2 3

    B( 6, -2) maka vektor posisinya adalah b ¯ = O B ¯ = 6 - 2

    a ¯ b ¯ = 2 3 . 6 - 2

    = 2 × 6 + 3 × ( - 2 )

    = 12 - 6

    = 6

  2. cos θ jika θ = a ¯ b ¯

    a ¯ = 2 3 maka panjang vektor a ¯ adalah a ¯ = 2 2 + 3 2 = 13

    b ¯ = 6 - 2 maka panjang vektor b ¯ adalah b ¯ = 6 2 + ( - 2 ) 2 = 40

    cos θ = a ¯ b ¯ a ¯ b ¯ cos θ = 6 13 40 hasil a ¯ . b ¯ = 6 lihat di soal a.

    = 3 520



Sebagai contoh :

1.

Diketahui kubus A B C D E F G H dengan panjang rusuk 4 satuan, tentukan hasil dari

  1. A B ¯ A C ¯ secara geometri

  2. A C ¯ A F ¯ secara geometri

           
  1. A C ¯ F A ¯ secara analit

  2. A C ¯ A G ¯ secara analit

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui titik-titik A 2 ,   3 , B 8 ,   - 7 , dan C 23 ,   2 , maka tentukan

a. B A ¯ B C ¯

b. Besar B A C

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui jajarangenjang A B C D dengan A 2 ,   3 , B5, 5, dan C10, 15 , maka tentukan

a. A C ¯ B D ¯

b. tan A C ¯ ,   B D ¯

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui A 3 ,   - 1 ,   5 , B 1 ,   2 ,   3 , dan C 15 ,   - 1 ,   8 maka tentukan

a. A B ¯ A C ¯

b. sin θ , jika θ = B A C

Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui a ¯ = 4 x , b ¯ = 3 x - 1 dan b ¯ = x 2 . Jika vektor a ¯ + 2 b ¯ tegak lurus dengan vektor c ¯ maka tentukan nilai x !

Lihat Penyelesaian
6.

Diketahui vector nilai m   yang memenuhi jika

  1. vektor a ¯ = - 3 m tegak lurus dengan b ¯ = 4 m - 4

  2. vektor u ¯ = 3 i ¯ + 4 j ¯ + m - 3 k ¯ tegak lurus dengan u ¯ = m i ¯ + m + 3 j ¯ + 5 k ¯

Lihat Penyelesaian
7.

Diketahui a ¯ = x i ¯ + 3 j ¯ - 4 k ¯ , b - = 2 i ¯ - 6 j ¯ - z k ¯ , dan c ¯ = 3 x i ¯ + 4 j ¯ + 5 z k ¯ . Jika vektor a ¯ sejajar b ¯ maka tentukan a ¯ . c ¯ !

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan hasil kali scalar dua vector jika diketahui

  1. vektor a ¯ = 3 x sejajar dengan b ¯ = 4 x + 3

  2. vektor u ¯ = 3 i ¯ + 2 j ¯ - k ¯ sejajar dengan v ¯ = m i ¯ - 4 j ¯ + n k ¯

Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui titik-titik A 2 ,   1 ,   4 , - 5 ,   3 ,     m , dan C 5 ,   m - 1 ,   m + 3 . Jika nilai m   yang memenuhi jika A B ¯   tegak lurus dengan A C ¯ adalah m 1 dan m 2 maka tentukan nilai dari m 1 2 + m 2 2 !

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui ketiga titik A 2 ,   5 ,   10 , B 11 ,   - 4 ,   - 17 , dan C - 2 ,   m ,   n kolinier , tentukan

  1. Nilai dari m + n

  2. Hasil kali scalar a ¯ c ¯ dengan a ¯ dan c ¯ vector posisi dari titik A dan C

Lihat Penyelesaian
11.

Diketahui segienam beraturan A B C D E F dengan panjang rusuk 4 satuan, tentukan

a. A B ¯ A D ¯

c. A B ¯ A F ¯

e. B E ¯ C D ¯

b. A B ¯ B C ¯

d. A B ¯ D A ¯

f. B E ¯ D E ¯

Lihat Penyelesaian
12.

Tentukan besar sudut masing-masing dibawah ini jika diketahui hasil kali skalarnya

a. 2 a ¯ b ¯ = a ¯ b ¯

c. u ¯ v ¯ = - u ¯ v ¯

b. 2 c ¯ d ¯ = 3 c ¯ d ¯

d. p ¯ q ¯ = - 1 2 p ¯ q ¯

Lihat Penyelesaian
13.

Diketahui a ¯ = 4 , b ¯ = 6 , dan a ¯ + b ¯ = 8 , maka tentukan

a. a ¯ b ¯

c. a ¯ + 2 b ¯ dan 3 a ¯ - b ¯

b. cos θ jika θ = a ¯ , b ¯

d. sin θ jika θ = a ¯ + 2 b ¯   , 3 a ¯ - b ¯

Lihat Penyelesaian
14.

Diketahui 2, 4 , B-7, 7, dan C3, 6. Tentukan

  1. tan A P C jika P terletak pada garis AB dengan AP÷AB=2÷3

  2. tan A Q C jika Q terletak pada garis AB dengan AQ÷QB=10÷-7

Lihat Penyelesaian
15.

Diketahui segitiga ABC, dengan A2, 3, 4 , B-3, 4, -7, dan C16, 11, 0. Jika T adalah titik berat segitiga ABC, maka tentukan

  1. Koordinat titik T

  2. Hasil kali skalar vektor TA¯ dan TB¯

  3. Besar sudut antara vektor TA¯ dan TB¯

Lihat Penyelesaian