A. PENGERTIAN VEKTOR

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Dalam matematika vektor digambarkan dalam bentuk garis lurus yang mempunyai panjang dan arah.

Penulisan nama vektor:

  • dengan menggunakan huruf kapital harus menggunakan dua huruf, sebagai contoh vektor AB adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang ruas garis AB dan arahnya dari A ke B.

  • sedangkan dengan huruf kecil hanya satu huruf, sebagai contoh a ̅ .


Sebagai contoh :

1.

gambarkan vektor-vektor dengan ketentuan sebagai berikut

a. vektor a yang panjangnya 6 satuan dan arahnya ke utara

b. vektor b yang panjangnya 4 satuan dan arahnya ke barat

c. vektor PQ yang panjangnya 5 2 dan arahnya ke timur laut


Lihat Penyelesaian

2.

Pada segienam beraturan, berikan contoh

a.vektor yang sama dengan vektor AB

b. vektor yang sama dengan vektor BC

c. vektor yang sama dengan vektor DC

d. hubungan antara vektor FC dengan vektor AB

Lihat Penyelesaian


Penulisan vektor :

untuk tiga dimensi, dalam bentuk basis a ̅ = x i ̅ + y j ̅ + z k ̅ , dalam bentuk kolom a ̅ = x y z

sedangkan untuk dua dimensi a ̅ = x i ̅ + y j ̅ dan a ̅ = x y .

Panjang vektor a ̅ = x i ̅ + y j ̅ + z k ̅ adalah a ̅ dengan a ̅ = x 2 + y 2 + z 2

Vektor satuan dari a̅ adalah vektor yang searah dengan a̅ dan panjangnya 1 satuan, ditulis ea̅

dengan ea̅=1a̅a̅

i adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu X

j adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu Y

k adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu Z

Dalam dimensi dua i=10 dan j=01

Dalam ruang dimensi tiga, i=100 , j=010 , dan k=001


Vektor posisi dari titik A ( x , y ) adalah a ̅ , adalah vektor yang pangkalnya titik O(0,0) dan ujungnya titik A ( x , y ) , bisa juga ditulis OA ̅ .

Jika A ( x , y , z ) maka a ̅ = x y z .


Operasi pada vektor

Pada penjumlahan dua vektor OA ̅ + AB ̅ = OB ̅ , sehingga AB ̅ = OB ̅ - OA ̅ atau AB ̅ = b ̅ - a ̅ .

Perkalian vektor dengan bilangan real, Jika a ̅ = x y z maka k a ̅ = k x y z = kx ky kz

Operasi penjumlahan dan pengurangan dua buah vektor,

x y z + p q r = x + p y + q z + r dan

x y z - p q r = x - p y - q z - r


Sebagai contoh :

1.

Diketahui titik A(3, 2) dan B(-1, -5), maka tentukan

a. vektor posisi dari titik A dan B berikut panjangnya masing-masing

b. vektor AB ̅ dan AB ̅

c. vektor satuan dari a ̅ dan vektor satuan dari AB ̅

d. vektor 5 a ̅ dan vektor - 2 AB ̅


Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui titik A(3, -1, 5), maka

a. Nyatakan vektor posisi dari titik A dalam basis dan kolom ?

b. Tentukan panjang vektor posisi dari titik A

c. Tentukan vektor satuan dari vektor posisi titik A


Lihat Penyelesaian
3.

a. Pada gambar disamping ini gambar dan tentukan vektor posisi dari titik A dan B ?

b. gambar dan tentukan vektor AB̅ beserta panjangnya ?

 


Lihat Penyelesaian
4.

Pada gambar di samping ini, nyatakan vektor c̅ dalam a̅ dan b̅


Lihat Penyelesaian
5.

Pada gambar di samping ini,adalah kubus ABCDEFGH dengan panjang rusuk 2 satuan, titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah FG dan DH. Jika dibuat koordinat kartesius tiga dimensi dengan A sebagai titik asal, ke kanan sumbu X positif, ke dalam sumbu Y positif dan ke atas sumbu Z positif, nyatakan dalam vektor basis ?

a. AB̅

c. AP̅

e. QB̅

g. QP̅

b. AC̅

d. AG̅

f. DQ̅

h. PQ̅

Lihat Penyelesaian