1. PENGERTIAN FUNGSI KUADRAT

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah padanan yang mengaitkan setiap anggota A ke tepat satu anggota B.

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk suku banyak berderajat dua.

Bentuk umum fungsi kuadrat :

f x = a x 2 + bx + c   dengan a 0

Sebagai contoh :

1.

Manakah fungsi-fungsi di bawah ini yang merupakan fungsi kuadrat

a. f x = - 3 x 2

d. f x = 3 x 2 + 6 x - 1 x 2 - 2 x + 4

g. f x = x - 1 ( x - 2 )

b. f x = 4 - x 2

e. f x = 2 x 2 - x 8

h. f x = x 2 - 2 x 2 + 1

c. f x = x x - 2

f. f x = x ( x 2 + 3 x - 1 )

i. f x = x + 1 x 2

Lihat Penyelesaian
2.

f x = m - 2 x 3 + 2 m x 2 - x + m - 3    adalah fungsi kuadrat, tentukan

a. nilai m

c. nilai fungsi untuk x = 3

b. f ( 10 )

d. nilai x sehingga f x = 2

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui fungsi kuadrat f x = k 2 x - 1 x - 2 - x 2 + 3 x - 1

a. tentukan nilai k yang memenuhi

b. Jika f 3 = 7 maka tentukan nilai dari k

c. Jika   f 5 = 1 maka tentukan nilai k

Lihat Penyelesaian

  1. TITIK PUNCAK DAN SUMBU SIMETRI

Fungsi kuadrat y = f x = ax 2 + bx + c   akan mempunyai

Persamaan sumbu simetri x = - b 2 a   dan

puncaknya y = - b 2 - 4 ac 4 a = D - 4 a   (dengan D = b 2 - 4 ac )

Koordinat titik puncak - b 2 a , D - 4 a

Bentuk lain fungsi kuadrat bisa ditulis y = a x - x p + y p   dengan   x p , y p merupakan koordinat titik puncak.

Sebagai contoh :

1. Tunjukkan kuadrat y = f x = ax 2 + bx + c akan mempunyai Koordinat titik puncak   - b 2 a , D - 4 a ?

Lihat Penyelesaian


2. Fungsi kuadrat f x = 2 x 2 - 4 x + 1

a. Nyatakan dalam bentuk y = a x - x p + y p kemudian tentukan puncaknya

b. Tentukan puncaknya dengan rumus P - b 2 a , D - 4 a

Lihat Penyelesaian


3. Fungsi kuadrat f x = - 7 x 2 - 11 x + 6

a. Nyatakan dalam bentuk y = a x - x p + y p kemudian tentukan puncaknya

b. Tentukan puncaknya dengan rumus P - b 2 a , D - 4 a

Lihat Penyelesaian


4. Tentukan nilai maksimum atau minimum relatif dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = x 2 + 12 x - 4

b. f x = a x 2 + 6 x - 1   jika   f 2 = - 1

c. f x = x 2 + 4 kx + 2 x - 11 k + 6   jika sumbu simetrinya   x = - 13

Lihat Penyelesaian


5. Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, tentukan nilai dari f ( 5 )   jika

a. f x = 4 x 2 + 16 x + k dan nilai minimumnya 10

b. f x = x 2 + kx + k - x - m dan titik puncaknya 4,10

Lihat Penyelesaian

  1. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Bentuk grafik dari fungsi kuadrat f x = a x 2 + bx + c adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat f x = a x 2 + bx + c

1. Tentukan persamaan sumbu simetrinya x = - b 2 a dan titik puncaknya P - b 2 a , D - 4 a

2. Tentukan titik potong dengan kedua sumbu koordinat

3. Gambar grafiknya di koordinat kartesius


Sebagai contoh :

1. Gambar grafik fungsi f x = x 2 + 2 x - 15

Lihat Penyelesaian


2. Gambar grafik fungsi f x = 10 + 2 x - x 2

Lihat Penyelesaian


3. Gambar grafik fungsi f x = 2 x 2 + 4 x + 9

Lihat Penyelesaian

  1. MENCARI PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT

Jika diketahui titik puncaknya gunakan y = a x - x p 2 + y p


Sebagai contoh :

1.

Tentukan persamaan fungsi dari kurva

Lihat Penyelesaian
2.

Grafik fungsi f x = a x 2 + bx + c berpuncak di ( - 1 , 2 ) dan melalui ( 1 , 10 ) . Tentukan koordinat titik puncak dari x = 2 a x 2 + 2 bx + 2 c ?

Lihat Penyelesaian
3.

Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum 1 saat x = - 2 dan bernilai 26 saat nilai x = 3 . Tentukan persamaan grafik fungsinya ?

Lihat Penyelesaian

Jika diketahui kedua titik potong dengan sumbu X.

Grafik kuadrat memotong sumbu X di x 1 , 0 dan x 2 , 0 , maka persamaannya adalah

f x = a x - x 1 x - x 2

Sebagai contoh :

4.

Tentukan persamaan dari grafik fungsi kuadrat di bawah ini

a.

b.

Lihat Penyelesaian
5.

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik yang berabsis - 3 dan 5 serta melalui 10 , 195 . Tentukan persamaan fungsi kuadrat dan koordinat titik puncaknya ?

Lihat Penyelesaian
6.

Grafik fungsi kuadrat berada diatas sumbu X pada interval 0 < x < 4 serta mempunyai nilai maksimum 400, maka tentukan persamaan fungsinya ?

Lihat Penyelesaian

Jika diketahui tiga titik sembarang ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , dan ( x 3 , y 3 ) maka gunakan persamaan
y = a x - x 1 x - x 2 + b x - x 1 + c

Sebagai contoh :


7.

Tentukan fungsi kuadrat yang melalui

a. (1, 8), (3, 26), dan (-2, 11)
b. (2, 45), (5, 210), dan (-3, 50)

Lihat Penyelesaian
8.

Grafik dari sebuah fungsi kuadrat melalui (4, 27), (10, 135), dan (-3, -8), Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X

Lihat Penyelesaian
9.

Grafik fungsi kuadrat bernilai -7 untuk x = 2 , bernilai 4 untuk x = 1 , dan bernilai -157 untuk x = 8 . Tentukan persamaan fungsinya ?

Lihat Penyelesaian

  1. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Jika kita punya pertidaksamaan 2 x 2 + 3 x - 5 > 0 dan kita akan menentukan nilai x yang memenuhi, jawabannya banyak sekali, misalnya x = 20 , x = 100 , x = - 77 , dan masih banyak lagi yang akan menjadi solusi pertidaksamaan ini. Untuk itu jawabannya bisa kita tulis dalam bentuk interval yaitu x < - 5 2 atau x > 1

Jadi untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Tentukan solusi dari persamaannya (akar-akarnya/pembuat nolnya).

2. Analisa jawabanya dengan membayangkan grafiknya, dan kalau sudah memahami cukup dengan garis bilangan untuk nilai x nya.


Sebagai contoh :

1.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 + 4 x - 5 < 0 ?

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 x 2 + 3 x - 14 > 0 ?

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 + 4 x + 4 0 ?

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5 x 2 + 4 x - 1 0 ?

Lihat Penyelesaian

  1. ANALISIS GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Grafik f x = a x 2 + bx + c bisa di analisis sebagai berikut

1. Jika a > 0 maka grafiknya terbuka ke atas

2. Jika a < 0 maka grafiknya terbuka ke bawah

3. Jika a = 0 maka bukan fungsi kuadrat

4. Jika D = 0 maka grafiknya menyinggung sumbu X

5. Jika D > 0 maka grafiknya akan memotong sumbu X di dua titik yang berbeda

6. Jika D < 0 maka grafiknya tidak memotong sumbu X

Secara umum dijelaskan pada gambar di bawah ini


Sebagai contoh :

1.

Grafik fungsi kuadrat f x = kx 2 + 2 x 2 + 3 kx + 6 x + 11 - k selalu berada di atas sumbu X, tentukan batas nilai k !

Lihat Penyelesaian
2.

Grafik fungsi kuadrat f x = kx 2 - x 2 + 4 kx + 6 k - 5 selalu berada di bawah sumbu X,tentukan batas nilai k !

Lihat Penyelesaian
3.

Jika fungsi kuadrat f x = m x 2 - x 2 + 2 mx - 8 x + m - 6 definit negative, maka tentukan batas nilai m yang memenuhi !

Lihat Penyelesaian
4.

Grafik fungsi kuadrat f x = k x 2 - x 2 + 2 kx + 4 x + 2 k - 4 menyinggung sumbu X dan terbuka ke atas, maka tentukan nilai k !

Lihat Penyelesaian


Jika fungsi kuadrat f x = ax 2 + bx + c = a x - α ( x - β ) maka grafiknya akan memotong sumbu X
di titik ( α , 0 ) dan ( β , 0 ) , dan α , β adalah akar-akar dari f x = 0 .

Jika grafik f ( x )

1. Menyinggung sumbu X positif syaratnya D = 0 , α + β > 0 , dan αβ > 0

2. Menyinggung sumbu X negatif syaratnya D = 0 , α + β < 0 , dan αβ > 0

3. Memotong sumbu X positif di dua titik syaratnya D > 0 , α + β > 0 , dan αβ > 0

4. Memotong sumbu X negatif di dua titik syaratnya D > 0 , α + β < 0 , dan αβ > 0

5. Memotong sumbu X positif dan negative syaratnya D > 0 , dan αβ < 0


Sebagai contoh :

5.

Grafik f x = m x 2 + 3 mx + 5 m - 11 menyinggung sumbu X positif, tentukan nilai m dan titik singgungnya !

Lihat Penyelesaian
6.

Grafik f x = m x 2 + 6 x - 2 mx + m - 5 menyinggung sumbu X, tentukan nilai m dan titik singgungnya !

Lihat Penyelesaian
7.

Grafik f x = m x 2 + 15 x 2 + 2 mx + m - 6 memotong sumbu X Negatif di dua titik berbeda, maka tentukan batas nilai m !

Lihat Penyelesaian
8.

Pada gambar di bawah ini, adalah grafik f x = ax 2 + bx + c

Tentukan kemungkinan-kemungkinan dari nilai , b , dan c

Lihat Penyelesaian

  1. APLIKASI FUNGSI KUADRAT

Salah satu kegunaan fungsi kuadrat adalah untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan nilai maksimum dan minimum dari sebuah permasalahan yang berhubungan dengan bentuk fungsi kuadrat.


Sebagai contoh :

1.

Jika 2 x - y = 20 , maka tentukan nilai minimum dari xy + 6 x !

Lihat Penyelesaian
2.

Persamaan kuadrat x 2 + 2 mx + 3 x + 4 m + 5 = 0 akarnya α dan , maka tentukan nilai
minimum dari α 2 + β 2 !

Lihat Penyelesaian
3.

Sebuah persegi panjang kelilingnya 2 a + 20 dan panjangnya 2 a - 3 . Tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut !

Lihat Penyelesaian
4.

Untuk memproduksi x buah barang dibutuhkan biaya ( x 2 - 8 x + 20 ) juta. Jika setiap barang di jual dengan harga ( 60 - x ) juta, maka tentukan keuntungan maksimum !

Lihat Penyelesaian
5.

Sebuah pagar yang panjangnya 112 m dibuat untuk membatasi 5 daerah yang berbentuk persegipanjang yang sama besar di samping ini. Tentukan luas maksimum dari semua daerah yang dibatasi oleh pagar !

 

Lihat Penyelesaian